Em uma fábrica, deseja-se estimar o custo total
para produzir um item, como função do número de unidades produzidas (X). Após um período de observação, foram obtidos os dados da tabela abaixo:
Unid. Prod(X) | 35 | 75 | 136 | 161 | 199 | 224 | 252 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Custo (Y) | 81 | 88 | 133 | 165 | 239 | 282 | 343 |
Após a realização de uma transformação linear (logaritmica) dos dados, verificou-se que o modelo
se ajustou bem aos dados. Considere as afirmativas a seguir:
4. Utilizando não é falsa, pois a estátistica
4. Utilizando
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está pedindo esse exercício. A gente tem uma fábrica que quer estimar o custo total $ Y $ para produzir um item, baseado no número de unidades produzidas $ X $. Eles coletaram alguns dados e ajustaram um modelo exponencial $ Y = \beta_{0} \exp(\beta_{1} X) $. A questão nos apresenta uma afirmativa sobre teste de hipóteses envolvendo o parâmetro $ \beta_{1} $ e uma estatística F. Nosso objetivo aqui é verificar se essa afirmativa está correta ou não, usando conceitos de estatística, especificamente testes de hipótese em modelos de regressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a afirmativa está dizendo. Ela afirma que, com nível de significância $ \alpha = 0,05 $, a hipótese $ \beta_{1} = 0 $ não é falsa porque a estatística observada $ F_{obs} = 54,7 $ é menor que o valor crítico $ F_{tab} = 230,2 $.
Passo 3
Agora, vamos relembrar o que significa testar $ \beta_{1} = 0 $ no contexto de regressão. Quando testamos $ \beta_{1} = 0 $, estamos verificando se a variável $ X $ tem um efeito significativo sobre $ Y $. Se $ \beta_{1} = 0 $, significa que $ X $ não influencia $ Y $.
Passo 4
O teste que estamos usando é o teste F para a significância do modelo. A estatística F observa a relação entre a variabilidade explicada pelo modelo e a variabilidade não explicada. Quanto maior o valor de F observado, mais provável é que o modelo seja significativo.
Passo 5
Com o nível de significância $ \alpha = 0,05 $, estabelecemos uma região crítica para rejeitar a hipótese nula $ H_0: \beta_{1} = 0 $. Se $ F_{obs} $ for maior que $ F_{tab} $, rejeitamos $ H_0 $, concluyendo que $ \beta_{1} $ é significativamente diferente de zero.
Passo 6
No caso da afirmativa, temos $ F_{obs} = 54,7 $ e $ F_{tab} = 230,2 $. Como $ 54,7 < 230,2 $, não entramos na região de rejeição. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula $ H_0: \beta_{1} = 0 $.
Passo 7
Entretanto, devemos interpretar isso no contexto do problema. Não rejeitar $ H_0 $ sugere que não há evidências suficientes para afirmar que $ X $ influencia significativamente $ Y $. Mas também é importante considerar o valor de $ F_{obs} $ em relação à $ F_{tab} $, que, neste caso, está bem abaixo, indicando que o modelo não é significativo.
Resposta
A afirmativa está correta. Com $ \alpha = 0,05 $, como $ F_{obs} = 54,7 $ é menor que $ F_{tab} = 230,2 $, não rejeitamos a hipótese $ \beta_{1} = 0 $.