Joviscleysson fez um curso de estatística on line e achou muito legal aprender a calcular o desvio-padrão de dados agrupados. Levantou a idade de todos os seus primos e montou a seguinte tabela:
Idade Membros da família
|l|l| hline Idade & Membros da família hline $0 mid--3$ anos & 4 hline $3 mid--6$ anos & 6 hline $6 mid--9$ anos & 11 hline $9 mid--12$ anos & 9 hline $12 mid--15$ anos & 13 hline $15 mid--18$ anos & 12 hline $18 mid--21$ anos & 8 hline $21 mid--24$ anos & 4 hline anos 4
anos 6
anos 11
anos 9
anos 13
anos 12
anos 8
anos 4
Determine o desvio-padrão das idades dos primos de Joviscleysson. Para isso, você pode utilizar a definição, o método breve ou o método brevíssimo. Para auxiliar nos cálculos, pode usar calculadora ou Excel. Em qualquer caso, é necessário apresentar os cálculos realizados.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A Joviscleysson coletou as idades dos seus primos e organizou os dados em uma tabela com intervalos de idade e a quantidade de membros em cada intervalo. Nosso objetivo aqui é calcular o desvio-padrão dessas idades. O desvio-padrão é uma medida que mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de estatística para dados agrupados.

Passo 2

Vamos anotar os dados fornecidos:
|c|c| hline Idade (anos) & Número de primos hline 0 -- 3 & 4 3 -- 6 & 6 6 -- 9 & 11 9 -- 12 & 9 12 -- 15 & 13 15 -- 18 & 12 18 -- 21 & 8 21 -- 24 & 4 hline ú

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio de cada intervalo de idade. O ponto médio é a média dos limites inferior e superior de cada classe. Vamos calcular isso para cada intervalo:
|c|c|c| hline Idade (anos) & Número de primos (f) & Ponto médio (x) hline 0 -- 3 & 4 & 0 + 32 = 1.5 3 -- 6 & 6 & 3 + 62 = 4.5 6 -- 9 & 11 & 6 + 92 = 7.5 9 -- 12 & 9 & 9 + 122 = 10.5 12 -- 15 & 13 & 12 + 152 = 13.5 15 -- 18 & 12 & 15 + 182 = 16.5 18 -- 21 & 8 & 18 + 212 = 19.5 21 -- 24 & 4 & 21 + 242 = 22.5 hline úé

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto de cada ponto médio pelo número de primos em cada intervalo. Este valor nos ajudará a encontrar a média ponderada das idades.
f times x = 4 times 1.5 = 6 6 times 4.5 = 27 11 times 7.5 = 82.5 9 times 10.5 = 94.5 13 times 13.5 = 175.5 12 times 16.5 = 198 8 times 19.5 = 156 4 times 22.5 = 90
Então, temos:
sum (f times x) = 6 + 27 + 82.5 + 94.5 + 175.5 + 198 + 156 + 90 = 829.5

Passo 5

Em seguida, vamos somar o número total de primos:
N = 4 + 6 + 11 + 9 + 13 + 12 + 8 + 4 = 67
Agora, podemos calcular a média (µ) das idades:
mu = sum (f times x)N = 829.567 approx 12.37 anos

Passo 6

Agora, precisamos calcular a soma dos quadrados das diferenças entre cada ponto médio e a média, multiplicados pela frequência correspondente. Ou seja, calcular (x - mu)^2 = (1.5 - 12.37)^2 approx 117.39 (4.5 - 12.37)^2 approx 62.17 (7.5 - 12.37)^2 approx 23.70 (10.5 - 12.37)^2 approx 3.46 (13.5 - 12.37)^2 approx 1.29 (16.5 - 12.37)^2 approx 17.20 (19.5 - 12.37)^2 approx 50.94 (22.5 - 12.37)^2 approx 102.21 para cada intervalo:
f times (x - mu)^2 = 4 times 117.39 approx 469.56 6 times 62.17 approx 373.02 11 times 23.70 approx 260.70 9 times 3.46 approx 31.14 13 times 1.29 approx 16.77 12 times 17.20 approx 206.40 8 times 50.94 approx 407.52 4 times 102.21 approx 408.84
Multiplicando cada um pela frequência:
sum [f times (x - mu)^2] = 469.56 + 373.02 + 260.70 + 31.14 + 16.77 + 206.40 + 407.52 + 408.84 approx 2183.15
Somando todos esses valores:

Passo 7

Agora, vamos calcular a variância (σ²):
sigma^2 = sum [f times (x - mu)^2]N = 2183.1567 approx 32.56

Passo 8

Por fim, o desvio-padrão (σ) é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz32.56 approx 5.71 anos

Resposta

O desvio-padrão das idades dos primos de Joviscleysson é aproximadamente 5.71 anos.

Exercícios relacionados