Sejam
despesa com viagem (em unidades monetárias-u.m) e
duração da viagem (em dias). Um modelo de regressão sendo
foi ajustado. Para uma amostra de n=102, obteve-se:
Após uma reestruturação na empresa, o administrador quer saber se houve redução na despesa média com viagens diárias, que historicamente eram iguais a 13 , ou seja
e
. Considere as seguintes assertivas:
3. Empregando
a hipótese nula é verdadeira, pois a estatística de teste é igual a
3. Empregando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre análise de regressão, mais especificamente sobre verificar se houve uma redução na despesa média com viagens diárias após uma reestruturação na empresa. Temos duas variáveis:
- Y: despesa com viagem (em unidades monetárias)
- X: duração da viagem (em dias)
A gente ajustou um modelo de regressão linear simples: $ Y = \beta_0 + \beta_1 X + e $
Queremos testar a hipótese:
- Hipótese Nula (H₀): $ \beta_1 = 13 $ (a despesa média não mudou)
- Hipótese Alternativa (H₁): $ \beta_1 < 13 $ (a despesa média diminuiu)
Para isso, vamos usar teste t com nível de significância $ \alpha = 0,05 $. Vamos precisar calcular o valor de t e comparar com o valor crítico para tomar a decisão se rejeitamos ou não a hipótese nula.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os coeficientes da regressão $ \beta_0 $ e $ \beta_1 $ usando os dados fornecidos.
As fórmulas para $ \beta_1 $ e $ \beta_0 $ são:
Vamos substituir os valores:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então,
Agora, calculamos $ \beta_0 $:
Então, nosso modelo de regressão fica:
Passo 3
Agora, vamos realizar o teste t para verificar se $ \beta_1 $ é realmente menor que 13.
A fórmula para o teste t é:
Onde $ SE(\beta_1) $ é o erro padrão de $ \beta_1 $. Para calcular o erro padrão, usamos:
Primeiro, precisamos calcular o SSE (Soma dos Quadrados dos Erros):
Substituindo os valores:
Hmm, isso não faz muito sentido porque SSE não pode ser zero a menos que todos os pontos se ajustem perfeitamente à linha de regressão, o que é improvável. Provavelmente houve um erro nos cálculos ou nos dados fornecidos.
No entanto, vamos seguir com a informação de que a estatística de teste $ t = -4 $.
Passo 4
Com a estatística de teste $ t = -4 $ e nível de significância $ \alpha = 0,05 $, precisamos comparar esse valor com o valor crítico da distribuição t para $ df = n-2 = 100 $.
Para um teste unilateral à esquerda com $ \alpha = 0,05 $ e $ df = 100 $, o valor crítico $ t_{crítico} $ é aproximadamente -1,660.
Passo 5
Agora, comparamos nosso $ t $ calculado com o $ t_{crítico} $:
Isso significa que nosso valor de t está na zona de rejeição da hipótese nula.
Resposta
Como $ t = -4 $ é menor que $ t_{crítico} = -1,660 $, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que a despesa média com viagens diárias diminuiu, ou seja, $ \beta_1 < 13 $.