Em uma fábrica, dois funcionários, Ana e Bruno, aplicam forças diferentes para empurrar uma mesma peça sobre uma superfície plana. Ana aplica uma força FA= (3 imath+4 jmath) N, e Bruno aplica uma força FB=(5 imath+12 jmath) N.
Determine:
o cosseno entre os dois vetores (cos theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo vetores de força aplicados por Ana e Bruno numa fábrica. Ana aplica uma força representada por e Bruno aplica . O que a gente precisa descobrir é o cosseno do ângulo entre essas duas forças. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e o cálculo de magnitudes de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar (ou produto interno) entre os dois vetores. O produto escalar entre dois vetores A cdot B = ax cdot bx + ay cdot by e FA cdot FB = 3 cdot 5 + 4 cdot 12 = 15 + 48 = 63 é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou normas) de cada vetor. A magnitude de um vetor |A| = raizax^2 + ay^2 é:
|FA| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5 , N
Vamos calcular para |FB| = raiz5^2 + 12^2 = raiz25 + 144 = raiz169 = 13 , N :
E para :

Passo 4

Estamos prontos para usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = A cdot B|A| cdot |B|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = 635 cdot 13 = 6365

Resposta

O cosseno do ângulo entre as forças aplicadas por Ana e Bruno é .

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