Numa fábrica existem três máquinas A, B e C que produzem respetivamente 40%, 25 % e 35% do total de tijolos adquiridos por uma construtora. Os percentuais de tijolos defeituosos produzidos pelas respetivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Qual é a probabilidade de que um tijolo escolhido ao acaso no estoque da construtora seja defeituoso? Qual é a probabilidade de que um tijolo defeituoso retirado ao acaso do estoque da construtora seja produzido pela máquina B ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui. Temos uma fábrica com três máquinas: A, B e C. Cada uma delas produz uma porcentagem diferente do total de tijolos que uma construtora compra. A máquina A faz 40%, a B faz 25% e a C faz 35%. Agora, cada máquina também tem uma taxa de defeito diferente: A tem 3% de defeitos, B tem 5% e C tem 2%. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. Qual a chance de um tijolo escolhido aleatoriamente no estoque da construtora ser defeituoso?
  2. Se a gente pegar um tijolo defeituoso, qual a chance dele ter vindo da máquina B?
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a probabilidade total e a probabilidade condicional. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de um tijolo ser defeituoso, independente de qual máquina o produziu. Para isso, vamos considerar a contribuição de cada máquina para os defeitos.
A probabilidade total de defeito (P(D)) é a soma das probabilidades de um tijolo ser defeito produzido por cada máquina, multiplicadas pela probabilidade de um tijolo ser produzido por essa máquina.
Matematicamente:
P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) + P(D|C) cdot P(C)
Onde:
  • $ P(D|A) $ é a probabilidade de defeito dado que foi produzido pela máquina A
  • $ P(A) $ é a probabilidade de um tijolo ser produzido pela máquina A
  • E assim por diante para as máquinas B e C

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
  • $ P(A) = 40% = 0,40 $
  • $ P(D|A) = 3% = 0,03 $
  • $ P(B) = 25% = 0,25 $
  • $ P(D|B) = 5% = 0,05 $
  • $ P© = 35% = 0,35 $
  • $ P(D|C) = 2% = 0,02 $
Então:
P(A) = 40% = 0,40

Passo 4

Agora, vamos fazer as multiplicações:
  • $ 0,03 \cdot 0,40 = 0,012 $
  • $ 0,05 \cdot 0,25 = 0,0125 $
  • $ 0,02 \cdot 0,35 = 0,007 $
Somando esses valores:
0,03 cdot 0,40 = 0,012

Passo 5

Convertendo de volta para porcentagem:
P(D) = 0,0315 times 100% = 3,15%
Então, a probabilidade de um tijolo escolhido aleatoriamente ser defeituoso é de 3,15%.

Passo 6

Agora vamos para a segunda parte da pergunta: qual a probabilidade de que um tijolo defeituoso tenha sido produzido pela máquina B?
Aqui, vamos usar a probabilidade condicional: queremos $ P(B|D) $, ou seja, a probabilidade de ter vindo da máquina B dado que o tijolo é defeituoso.
A fórmula para isso é:
P(B|D)

Passo 7

Já calculamos $ P(D) = 0,0315 $, e sabemos que:
  • $ P(D|B) = 0,05 $
  • $ P(B) = 0,25 $
Substituindo na fórmula:
P(D) = 0,0315

Passo 8

Calculando o numerador:
0,05 cdot 0,25 = 0,0125
Então:
P(B|D) = 0,01250,0315 approx 0,3968

Resposta

A probabilidade de um tijolo escolhido ao acaso ser defeituoso é de 3,15%, e a probabilidade de que um tijolo defeituoso venha da máquina B é de aproximadamente 39,68%.

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