Num laboratório há três gaiolas. Na gaiola I há 2 coelhos pardos e 3 brancos, a gaiola II tem 4 coelhos pardos e 3 brancos e a gaiola III contem 5 coelhos pardos e 5 brancos. Seleciona-se, ao acaso, uma gaiola e tira-se um coelho ao acaso desta gaiola. Se o coelho sorteado foi um coelho pardo, qual é probabilidade de que seja da gaiola III?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três gaiolas com coelhos de cores diferentes. Queremos saber a probabilidade de que um coelho pardo escolhido aleatoriamente venha da gaiola III. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de probabilidade condicional, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já aconteceu.

Passo 2

Vamos listar as informações:
  • Gaiola I: 2 coelhos pardos e 3 brancos (Total: 5)
  • Gaiola II: 4 coelhos pardos e 3 brancos (Total: 7)
  • Gaiola III: 5 coelhos pardos e 5 brancos (Total: 10)
Assumimos que a escolha de qualquer gaiola é igualmente provável, ou seja, cada gaiola tem uma probabilidade de $ \frac{1}{3} $ de ser escolhida.

Passo 3

Agora, queremos calcular a probabilidade de tirar um coelho pardo e ele ser da gaiola III. Para isso, usamos a definição de probabilidade condicional:
P(Gaiola III | Pardo) = P(Pardo e Gaiola III)P(Pardo)

Passo 4

Vamos calcular $ P(Pardo e Gaiola III) $. Isso significa a probabilidade de escolher a gaiola III e tirar um coelho pardo dela:
P(Pardo e Gaiola III)
Sabemos que $ P(Gaiola III) = \frac{1}{3} $ e $ P(Pardo | Gaiola III) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $. Então:
P(Pardo e Gaiola III) = P(Gaiola III) times P(Pardo | Gaiola III)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(Pardo) $, a probabilidade de tirar um coelho pardo de qualquer gaiola. Isso envolve somar as probabilidades de tirar um pardo de cada gaiola:
P(Pardo)
Substituindo os valores:
P(Pardo) = P(Gaiola I) times P(Pardo | Gaiola I) + P(Gaiola II) times P(Pardo | Gaiola II) + P(Gaiola III) times P(Pardo | Gaiola III)
Calculando cada termo:
P(Pardo) = 13 times 25 + 13 times 47 + 13 times 510
13 times 25 = 215
13 times 47 = 421
Somando os três:
13 times 510 = 530 = 16

Passo 6

Agora, usando a fórmula da probabilidade condicional:
P(Gaiola III | Pardo) = 160,49 approx 0,34

Resposta

A probabilidade de que o coelho pardo seja da gaiola III é de aproximadamente 34%.

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