Uma fábrica de garrafas de vidro sabe, a partir de dados históricos, que em média 2 garrafas apresentam trincas por hora de produção. Suponha que o processo produza milhares de garrafas por hora.
Qual a probabilidade de exatamente 3 garrafas trincadas em 1 hora?

Passo 1

O enunciado diz que, em média, ocorrem 2 garrafas trincadas por hora e o processo produz milhares de garrafas, o que caracteriza eventos raros e independentes em intervalos de tempo. Isso encaixa na distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=2. Queremos a probabilidade de exatamente 3 trincas em 1 hora.

Passo 2

Para a distribuição de Poisson, a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos em um intervalo fixo é dada por
P(X = k) = \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},
onde \lambda é a média de eventos no intervalo.

Passo 3

Aqui temos \lambda = 2 e k = 3. Substituindo na fórmula,
P(X = 3) = \frac{2^{3} e^{-2}}{3!}.

Passo 4

Calculando os valores numéricos:
2^{3} = 8, \quad 3! = 6, \quad e^{-2}\approx 0,1353.
Logo,
P(X = 3) = \frac{8\,e^{-2}}{6} = \frac{4\,e^{-2}}{3} \approx \frac{4\cdot 0,1353}{3} \approx 0,1804.

Resposta

P(X=3) = \frac{2^{3}e^{-2}}{3!} = \frac{4\,e^{-2}}{3} \approx 0,1804.

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