Uma fábrica de garrafas de vidro sabe, a partir de dados históricos, que em média 2 garrafas apresentam trincas por hora de produção. Suponha que o processo produza milhares de garrafas por hora.
Qual a probabilidade de nenhuma garrafa trincada em 30 minutos?

Passo 1

O enunciado fala de um processo de produção de garrafas no qual, em média, ocorrem 2 garrafas com trincas a cada hora. Precisamos calcular a probabilidade de não aparecer nenhuma garrafa trincada em 30 minutos. O conteúdo aqui é o uso da distribuição de Poisson, que modela o número de ocorrências de um evento raro em intervalos de tempo fixos, quando essas ocorrências são independentes e têm taxa constante.

Passo 2

Vamos modelar o número de garrafas trincadas em um dado intervalo de tempo como uma variável aleatória X que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda, onde \lambda é a média de eventos no intervalo considerado. Para uma hora, \lambda_{\text{hora}}=2.

Passo 3

Como queremos o intervalo de 30 minutos, que é metade de uma hora, ajustamos o parâmetro proporcionalmente:
\lambda_{30\text{ min}} = 2 \times \frac{30}{60} = 1.

Passo 4

A probabilidade de ocorrer exatamente k eventos em uma Poisson de parâmetro \lambda é
P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}.
Para k=0 e \lambda=1, temos
P(X=0) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = e^{-1}.

Resposta

A probabilidade de nenhuma garrafa trincada em 30 minutos é
e^{-1}\approx0,3679.

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