Uma fábrica de lâmpadas efetuou testes de qualidade e descobriu que elas duram, em média, 800 horas com desvio-padrão de 20 horas. Se o fabricante quer estabelecer uma garantia de troca, em caso de defeito, para trocar menos que 3% das lâmpadas, qual deve ser o número de horas da garantia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma fábrica de lâmpadas tem uma duração média de 800 horas, com um desvio-padrão de 20 horas. O objetivo é descobrir por quantas horas a garantia deve durar para que menos de 3% das lâmpadas precisem ser trocadas por defeito durante a garantia. Vamos usar o conteúdo de estatística, mais especificamente a distribuição normal, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a duração das lâmpadas segue uma distribuição normal, que é aquela “curva em forma de sino”. A média (µ) é 800 horas, e o desvio-padrão (σ) é 20 horas. Queremos encontrar o tempo $ t $ tal que a probabilidade de uma lâmpada durar menos de $ t $ horas seja de 3%.

Passo 3

Para isso, vamos padronizar a variável usando a fórmula do escore z:
z = t - musigma
Aqui, $ \mu = 800 $ e $ \sigma = 20 $. Nosso objetivo é achar o valor de $ z $ que corresponde a 3% da área à esquerda na curva normal.

Passo 4

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que o valor de $ z $ que deixa 3% à esquerda é aproximadamente $ z = -1,88 $.

Passo 5

Agora, vamos usar o valor de $ z $ para encontrar o tempo $ t $:
z
Substituindo os valores:
t

Passo 6

Fazendo as contas:
t = 800 - 37,6 = 762,4 horas

Resposta

Para que menos de 3% das lâmpadas precisem ser trocadas por defeito durante a garantia, a garantia deve ser de aproximadamente 762,4 horas.

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