Suponha que um fabricante de sorvete recebe o leite que utiliza de 3 fazendas nas proporções de 20,30 e 50%. A fiscalização sobre as fazendas mostra que 20 % do leite produzido pela primeira fazenda foi adulterado, enquanto que para a segunda e terceira fazendas as percentuais de adulteração são 5 e 2% respetivamente. Se o fabricante escolhe uma amostra de leite e verifica que está adulterado, calcule: A probabilidade da amostra de leite adulterado provir da segunda ou terceira fazenda.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos um fabricante de sorvete que recebe leite de 3 fazendas com as seguintes proporções: 20% da primeira, 30% da segunda e 50% da terceira. Sabemos que uma certa porcentagem do leite de cada fazenda está adulterada: 20% da primeira, 5% da segunda e 2% da terceira. A pergunta é: se pegarmos uma amostra de leite adulterado, qual é a probabilidade de ela ter vindo da segunda ou da terceira fazenda?
Vamos usar conceitos de Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • $ F_1 $: A amostra vem da primeira fazenda.
  • $ F_2 $: A amostra vem da segunda fazenda.
  • $ F_3 $: A amostra vem da terceira fazenda.
  • $ A $: A amostra está adulterada.
Queremos encontrar $ P(F_2 \cup F_3 \mid A) $, ou seja, a probabilidade de a amostra adulterada ter vindo da segunda ou da terceira fazenda.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade total de uma amostra estar adulterada, $ P(A) $. Usamos a Lei das Probabilidades Totais, que diz:
P(A)
Substituindo os valores:
P(A) = P(F1) cdot P(A mid F1) + P(F2) cdot P(A mid F2) + P(F3) cdot P(A mid F3)
Calculando cada termo:
P(A) = 0.20 cdot 0.20 + 0.30 cdot 0.05 + 0.50 cdot 0.02
0.20 cdot 0.20 = 0.04
0.30 cdot 0.05 = 0.015
Somando os resultados:
0.50 cdot 0.02 = 0.01

Passo 4

Agora, usamos o Teorema de Bayes para encontrar $ P(F_2 \cup F_3 \mid A) $. Primeiro, vamos calcular $ P(F_2 \mid A) $ e $ P(F_3 \mid A) $:
P(F2 cup F3 mid A)
P(F2 mid A)

Passo 5

Finalmente, somamos essas probabilidades para obter $ P(F_2 \cup F_3 \mid A) $:
P(F2 cup F3 mid A)

Resposta

A probabilidade da amostra de leite adulterado ter vindo da segunda ou terceira fazenda é de aproximadamente 38,46%.

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