Uma v.a. X tem função de distribuição
F(x)=ll 1, & x>1 x^3, & 0 <= x <= 1 0, & x<0
Qual a densidade de X?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de distribuição acumulada (F(x)) de uma variável aleatória X. Nosso objetivo é encontrar a densidade de probabilidade dessa variável, ou seja, a função f(x). Para isso, vamos precisar saber que a densidade é a derivada da função de distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função F(x) que foi dada:
F(x) = 1, & x > 1 x^3, & 0 <= x <= 1 0, & x < 0
Isso significa que para valores de x menores que 0, a probabilidade acumulada é 0; entre 0 e 1, ela aumenta de acordo com x^3; e para x maiores que 1, a probabilidade acumulada é 1.

Passo 3

Agora, para encontrar a densidade f(x), a gente precisa derivar F(x) em relação a x. A derivada da função de distribuição dá a função de densidade.

Passo 4

Vamos derivar cada parte de F(x):
  • Para x < 0:
F(x) = 0 Rightarrow f(x) = ddx0 = 0
  • Para 0 <= x <= 1:
F(x) = x^3 Rightarrow f(x) = ddxx^3 = 3x^2
  • Para x > 1:
F(x) = 1 Rightarrow f(x) = ddx1 = 0

Resposta

A densidade de X é dada por
f(x) = 0, & x < 0 3x^2, & 0 <= x <= 1 0, & x > 1

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