Numa fábrica ocorrem em média 6 acidentes/mês, qual é a probabilidade de que em um determinado mês, ocorra mais de 2 acidentes? R: 93,80%

Passo 1

Vamos lá! No seu problema, temos que, em média, ocorrem 6 acidentes por mês numa fábrica. Queremos descobrir a probabilidade de que, em um mês específico, ocorram mais de 2 acidentes. Para resolver isso, vamos utilizar a distribuição de Poisson, que é ideal para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo de tempo fixo quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

Passo 2

A distribuição de Poisson é usada para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos em um intervalo de tempo, dado que a taxa média de ocorrência é $ \lambda $. A fórmula da distribuição de Poisson é:
k
onde:
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (no nosso caso, 6 acidentes por mês),
  • $ k $ é o número de eventos desejados,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).

Passo 3

No nosso caso, $ \lambda = 6 $ acidentes por mês. Queremos calcular a probabilidade de que ocorram mais de 2 acidentes, ou seja, $ P(X > 2) $.
Mas para facilitar, vamos primeiro calcular a probabilidade de que ocorram 2 ou menos acidentes ($ P(X \leq 2) $) e depois subtrair essa soma de 1:
lambda = 6

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição de Poisson:
  1. Probabilidade de 0 acidentes ($ k = 0 $):
k = 0
  1. Probabilidade de 1 acidente ($ k = 1 $):
P(X = 0) = 6^0 cdot e^-60! = 1 cdot e^-61 = e^-6 approx 0,00247875
  1. Probabilidade de 2 acidentes ($ k = 2 $):
k = 1

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,00247875 + 0,0148725 + 0,0446175 = 0,06196875

Passo 6

Por fim, subtraímos essa soma de 1 para encontrar a probabilidade de ocorrer mais de 2 acidentes:
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2) = 1 - 0,06196875 approx 0,93803125

Resposta

A probabilidade de que, em um determinado mês, ocorram mais de 2 acidentes é aproximadamente 93,80%.

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