Um produtor de sementes garante que,
das sementes germinam. Se um comprador toma uma amostra de 50 sementes e as submete a um teste de germinação, qual a probabilidade de que 40 germinem? R: 1,5%
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um produtor de sementes que afirma que 90% das sementes que ele produz conseguem germinar. Um comprador decide pegar uma amostra de 50 sementes e testar quantas delas realmente germinam. A pergunta é: qual a probabilidade de que exatamente 40 dessas 50 sementes germinem? Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade Binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um experimento que consiste em várias tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada semente que germina é um “sucesso” e cada que não germina é um “fracasso”.
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (neste caso, 50 sementes).
- $ k $ é o número de sucessos desejados (neste caso, 40 sementes que germinam).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (90%, ou 0,9).
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
-
Coeficiente Binomial ($ \binom{n}{k} $):
-
Probabilidade dos sucessos ($ p^k $):
-
Probabilidade dos fracassos ($ (1-p)^{n-k} $):
Passo 5
Calculando o coeficiente binomial:
Passo 6
Calculando as probabilidades:
Passo 7
Agora, multiplicamos todos os componentes:
Resposta
A probabilidade de que exatamente 40 das 50 sementes germinem é de aproximadamente 1,5%.