Um produtor de sementes garante que, 90 % das sementes germinam. Se um comprador toma uma amostra de 50 sementes e as submete a um teste de germinação, qual a probabilidade de que 40 germinem? R: 1,5%

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um produtor de sementes que afirma que 90% das sementes que ele produz conseguem germinar. Um comprador decide pegar uma amostra de 50 sementes e testar quantas delas realmente germinam. A pergunta é: qual a probabilidade de que exatamente 40 dessas 50 sementes germinem? Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade Binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um experimento que consiste em várias tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada semente que germina é um “sucesso” e cada que não germina é um “fracasso”.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (neste caso, 50 sementes).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (neste caso, 40 sementes que germinam).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (90%, ou 0,9).
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente Binomial ($ \binom{n}{k} $):
    binomnk
  2. Probabilidade dos sucessos ($ p^k $):
    binom5040 = 50!40! times (50-40)! = 50!40! times 10!
  3. Probabilidade dos fracassos ($ (1-p)^{n-k} $):
    p^k

Passo 5

Calculando o coeficiente binomial:
binom5040 = 50!40! times 10! approx 10272278170

Passo 6

Calculando as probabilidades:
0,9^40 approx 0,0146
0,1^10 = 0,0000000001

Passo 7

Agora, multiplicamos todos os componentes:
P(X = 40) = 10272278170 times 0,0146 times 0,0000000001 approx 0,015

Resposta

A probabilidade de que exatamente 40 das 50 sementes germinem é de aproximadamente 1,5%.

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