Um jogador tem 5 / 12 de probabilidade de ganhar um jogo. Na realização de 20 partidas, determinar a probabilidade de esse jogador vencer:
c) menos de 5 partidas. R : 8 , 2 2 %

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um jogador que tem uma chance de 512 de ganhar cada jogo. Ele vai jogar 20 partidas, e queremos descobrir qual a probabilidade dele ganhar menos de 5 dessas partidas. Para resolver isso, vamos usar a Probabilidade Binomial, que é uma ferramenta ótima para calcular a chance de um determinado número de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem duas opções: sucesso ou fracasso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros que vamos usar na fórmula da Probabilidade Binomial:
  • Número de tentativas ( n): 20 partidas
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa ( p): 512
  • Número de sucessos desejados ( k): Menos de 5 partidas, ou seja, 0, 1, 2, 3 e 4 vitórias

Passo 3

A fórmula da Probabilidade Binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p^k é a probabilidade de termos exatamente k sucessos.
  • (1 - p)^n - k é a probabilidade dos outros n - k serem fracassos.

Passo 4

Como queremos a probabilidade de ganhar menos de 5 partidas, precisamos somar as probabilidades de ganhar 0, 1, 2, 3 e 4 partidas:
P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula:
  1. Para k = 0:
    P(X = 0) = binom200 times (512)^0 times (712)^20 approx 0,00013
  2. Para k = 1:
    P(X = 1) = binom201 times (512)^1 times (712)^19 approx 0,0015
  3. Para k = 2:
    P(X = 2) = binom202 times (512)^2 times (712)^18 approx 0,0097
  4. Para k = 3:
    P(X = 3) = binom203 times (512)^3 times (712)^17 approx 0,0402
  5. Para k = 4:
    P(X = 4) = binom204 times (512)^4 times (712)^16 approx 0,1368

Passo 6

Agora, vamos somar todas essas probabilidades para encontrar a probabilidade total de ganhar menos de 5 partidas:
P(X < 5) approx 0,00013 + 0,0015 + 0,0097 + 0,0402 + 0,1368 = 0,1883
Convertendo para porcentagem:
0,1883 times 100 approx 18,83%

Resposta

A probabilidade do jogador vencer menos de 5 partidas em 20 jogos é aproximadamente 18,83%.

Exercícios relacionados