Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total de parafusos, respectivamente. Da produção de cada máquina, 7, 5 e 2 %, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e ele é defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso venha da máquina B?

Passo 1

Resumo do enunciado:
Temos três máquinas A, B e C que produzem parafusos em frações de 25 %, 35 % e 40 % do total. Dessas, 7 % dos da A, 5 % dos da B e 2 % dos da C saem defeituosos. Pegamos um parafuso ao acaso e ele está defeituoso. Queremos saber a probabilidade de ele ter vindo da máquina B.
Conteúdo: probabilidade total e teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
  • Definir probabilidades a priori de cada máquina.
  • Definir probabilidades condicionais de defeito em cada máquina.
  • Calcular a probabilidade total de pegar um parafuso defeituoso.
  • Usar a fórmula de Bayes para achar P(B|defeito).

Passo 2

Vamos anotar:
P(A)=0{,}25, P(B)=0{,}35, P©=0{,}40
P(D|A)=0{,}07, P(D|B)=0{,}05, P(D|C)=0{,}02
Aqui D é o evento “parafuso defeituoso”.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da probabilidade total para P(D):
P(D)=P(A),P(D|A)+P(B),P(D|B)+P(C),P(D|C)
Substituindo:
P(D)=0,25cdot0,07+0,35cdot0,05+0,40cdot0,02 =0,0175+0,0175+0,008 =0,043

Passo 4

Agora usamos Bayes para achar P(B|D):
P(B|D)=P(B),P(D|B)P(D) =0,35cdot0,050,043 =0,01750,043approx0,40698

Resposta

A probabilidade de que o parafuso defeituoso venha da máquina B é de aproximadamente 40,7 %.

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