Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 35%, 35% e 30 % do total, respectivamente. Da produção de cada máquina 4%, 3% e 1%, respectivamente, são de parafusos com defeito. Um parafuso foi encontrado com defeito, qual é probabilidade de que tenha vindo da máquina A ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de probabilidade juntos! A questão fala sobre a produção de parafusos em uma fábrica com três máquinas (A, B e C) que têm percentuais diferentes de produção e taxas de defeito. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de um parafuso defeituoso ter vindo da máquina A. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Máquina A: produz 35% dos parafusos, com 4% defeituosos.
  • Máquina B: produz 35% dos parafusos, com 3% defeituosos.
  • Máquina C: produz 30% dos parafusos, com 1% defeituosos.
Queremos achar a probabilidade de que, sabendo que um parafuso é defeituoso, ele veio da máquina A.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar a probabilidade de uma hipótese com base em novas evidências. A fórmula do teorema de Bayes é:
P(A|D) = P(D|A) cdot P(A)P(D)
Onde:
  • $ P(A|D) $ é a probabilidade de o parafuso ser da máquina A dado que ele é defeituoso.
  • $ P(D|A) $ é a probabilidade de o parafuso ser defeituoso dado que veio da máquina A.
  • $ P(A) $ é a probabilidade de o parafuso ser da máquina A.
  • $ P(D) $ é a probabilidade de o parafuso ser defeituoso em geral.

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. $ P(A) $: Já nos dizem que a máquina A produz 35% dos parafusos, então:
P(A)
  1. $ P(D|A) $: A taxa de defeito da máquina A é 4%, então:
P(A) = 0,35
  1. $ P(D) $: Essa é a probabilidade total de um parafuso ser defeituoso, considerando todas as máquinas. Para calcular isso, usamos a regra da probabilidade total:
P(D|A)
Onde:
P(D|A) = 0,04
P(D)
Substituindo:
P(D) = P(D|A) cdot P(A) + P(D|B) cdot P(B) + P(D|C) cdot P(C)
P(D|B) = 0,03 e P(B) = 0,35
P(D|C) = 0,01 e P(C) = 0,30

Passo 5

Agora que temos todos os valores, vamos aplicar o teorema de Bayes:
P(A|D) = P(D|A) cdot P(A)P(D) = 0,04 times 0,350,0275
Calculando o numerador:
0,04 times 0,35 = 0,014
Então:
P(A|D) = 0,0140,0275 approx 0,5091

Resposta

A probabilidade de que o parafuso defeituoso tenha vindo da máquina A é aproximadamente 50,91%.

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