Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 35%, 35% e
do total, respectivamente. Da produção de cada máquina 4%, 3% e 1%, respectivamente, são de parafusos com defeito. Um parafuso foi encontrado com defeito, qual é probabilidade de que tenha vindo da máquina
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de probabilidade juntos! A questão fala sobre a produção de parafusos em uma fábrica com três máquinas (A, B e C) que têm percentuais diferentes de produção e taxas de defeito. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de um parafuso defeituoso ter vindo da máquina A. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
- Máquina A: produz 35% dos parafusos, com 4% defeituosos.
- Máquina B: produz 35% dos parafusos, com 3% defeituosos.
- Máquina C: produz 30% dos parafusos, com 1% defeituosos.
Queremos achar a probabilidade de que, sabendo que um parafuso é defeituoso, ele veio da máquina A.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar o teorema de Bayes, que nos ajuda a atualizar a probabilidade de uma hipótese com base em novas evidências. A fórmula do teorema de Bayes é:
Onde:
- $ P(A|D) $ é a probabilidade de o parafuso ser da máquina A dado que ele é defeituoso.
- $ P(D|A) $ é a probabilidade de o parafuso ser defeituoso dado que veio da máquina A.
- $ P(A) $ é a probabilidade de o parafuso ser da máquina A.
- $ P(D) $ é a probabilidade de o parafuso ser defeituoso em geral.
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
- $ P(A) $: Já nos dizem que a máquina A produz 35% dos parafusos, então:
- $ P(D|A) $: A taxa de defeito da máquina A é 4%, então:
- $ P(D) $: Essa é a probabilidade total de um parafuso ser defeituoso, considerando todas as máquinas. Para calcular isso, usamos a regra da probabilidade total:
Onde:
Substituindo:
Passo 5
Agora que temos todos os valores, vamos aplicar o teorema de Bayes:
Calculando o numerador:
Então:
Resposta
A probabilidade de que o parafuso defeituoso tenha vindo da máquina A é aproximadamente 50,91%.