Em uma fábrica de peças eletrônicas, as máquinas \mathrm{A}, \mathrm{B} e C produzem 20 \%, 35 \% e 45 \% do total, respectivamente. Da produção de cada máquina, 3 \%. 2 \% e 4 \%, respectivamente, são peças defeituosas.
Escolhe-se ao acaso uma peça e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha sido produzida da máquina A ?

Passo 1

O enunciado descreve um problema clássico de Teorema de Bayes. Temos três máquinas A, B e C que produzem, respectivamente, 20\%, 35\% e 45\% do total de peças. Dessas produções, as taxas de peças defeituosas são 3\% para A, 2\% para B e 4\% para C. Queremos a probabilidade de a peça ter vindo de A dado que ela é defeituosa, ou seja, calcular
P(A \mid D)
onde D é o evento “peça defeituosa”.

Passo 2

Identificamos as probabilidades marginais e condicionais:
P(A)=0,20,\quad P(B)=0,35,\quad P\text{(C)}=0,45,
P(D\mid A)=0,03,\quad P(D\mid B)=0,02,\quad P(D\mid C)=0,04.

Passo 3

Calculamos as probabilidades conjuntas P(\text{máquina}\,\wedge\,D)á:
P(A\wedge D)=P(A)\,P(D\mid A)=0,20\times0,03=0,006,
P(B\wedge D)=0,35\times0,02=0,007,
P(C\wedge D)=0,45\times0,04=0,018.

Passo 4

Obtemos a probabilidade total de defeito usando a Lei da Probabilidade Total:
P(D)=P(A\wedge D)+P(B\wedge D)+P(C\wedge D) =0,006+0,007+0,018=0,031.

Passo 5

Aplicamos o Teorema de Bayes para achar P(A\mid D):
P(A\mid D) =\frac{P(A\wedge D)}{P(D)} =\frac{0,006}{0,031} =\frac{6}{31}\approx0,1935.

Resposta

P(A\mid D)=\frac{6}{31}\approx0,1935\quad(19,35\%).

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