Em uma fábrica de peças eletrônicas, as máquinas \mathrm{A}, \mathrm{B} e C produzem 20 \%, 35 \% e 45 \% do total, respectivamente. Da produção de cada máquina, 3 \%. 2 \% e 4 \%, respectivamente, são peças defeituosas.
Escolhe-se ao acaso uma peça e verifica-se que não é defeituosa. Qual a probabilidade de que não tenha sido produzida pela máquina C ?

Passo 1

O enunciado diz que as máquinas A, B e C produzem, respectivamente, 20\%, 35\% e 45\% do total de peças, e que as taxas de peças defeituosas dessas máquinas são 3\%, 2\% e 4\%. Escolhe-se uma peça ao acaso e verifica-se que ela não é defeituosa. Queremos a probabilidade de que ela não tenha vindo da máquina C.
Conteúdo: probabilidade condicionada, Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos os eventos:
\,A: peça vinda da máquina A
\,B: peça vinda da máquina B
\,C: peça vinda da máquina C
\,D: peça defeituosa
\,\overline{D}: peça não defeituosa
As probabilidades são
P(A)=0{,}20,\quad P(B)=0{,}35,\quad P\text{(C)}=0{,}45,
P(D\mid A)=0{,}03,\quad P(D\mid B)=0{,}02,\quad P(D\mid C)=0{,}04.

Passo 3

Calculamos a probabilidade de não ser defeituosa em cada máquina:
P(\overline{D}\mid A)=1-0{,}03=0{,}97,
P(\overline{D}\mid B)=1-0{,}02=0{,}98,
P(\overline{D}\mid C)=1-0{,}04=0{,}96.

Passo 4

Aplicamos o Teorema da Probabilidade Total para P(\overline{D}):
P(\overline{D}) = P(A)\,P(\overline{D}\mid A) +P(B)\,P(\overline{D}\mid B) +P\text{(C)}\,P(\overline{D}\mid C)
\;=\;0{,}20\cdot0{,}97 + 0{,}35\cdot0{,}98 + 0{,}45\cdot0{,}96 \;=\;0{,}194 + 0{,}343 + 0{,}432 \;=\;0{,}969.

Passo 5

Queremos P(\text{não }C \mid \overline{D}) = 1 - P(C\mid \overline{D})ã. Usando Bayes:
P(C\mid \overline{D}) =\frac{P\text{(C)}\,P(\overline{D}\mid C)}{P(\overline{D})} =\frac{0{,}45\cdot0{,}96}{0{,}969} \approx0{,}446.
Logo,
P(\text{não }C \mid \overline{D}) =1-0{,}446 \approx0{,}554.ã

Resposta

A probabilidade de que a peça não tenha sido produzida pela máquina C, dado que ela não é defeituosa, é aproximadamente 0{,}554 (ou 55{,}4\%).

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