4- (4 pontos) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, de modo que Y=3-2 X, com E(X)=3 e V(X)=2. Calcule:
a) E(Y)
b) V(Y)
c) E\left(X^{2}-Y^{2}\right)
d) \rho_{X Y}

Passo 1

O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y relacionadas por
Y = 3 - 2X,
sabendo que
E(X) = 3,\quad V(X) = 2.
Precisamos usar as propriedades lineares de esperança, variância e covariância para calcular:
a) E(Y)
b) V(Y)
c) E\bigl(X^2 - Y^2\bigr)
d) \rho_{XY}

Passo 2

Para E(Y) usamos a linearidade da esperança: se Y = aX + b, então
E(Y) = a\,E(X) + b.
Aqui a = -2 e b = 3, logo
E(Y) = -2 \cdot E(X) + 3 = -2\cdot 3 + 3 = -6 + 3 = -3.

Passo 3

Para V(Y) usamos que, se Y = aX + b, então
V(Y) = a^2\,V(X).
Com a = -2 e V(X)=2, vem
V(Y) = (-2)^2 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8.

Passo 4

Queremos E\bigl(X^2 - Y^2\bigr) = E(X^2) - E(Y^2). Primeiro,
E(X^2) = V(X) + \bigl[E(X)\bigr]^2 = 2 + 3^2 = 2 + 9 = 11.
Depois,
E(Y^2) = V(Y) + \bigl[E(Y)\bigr]^2 = 8 + (-3)^2 = 8 + 9 = 17.
Logo
E\bigl(X^2 - Y^2\bigr) = 11 - 17 = -6.

Passo 5

Para a correlação \rho_{XY} precisamos de \Cov(X,Y) e dos desvios-padrão.
\Cov(X,Y) = \Cov\bigl(X,\,3 - 2X\bigr) = -2\,\Cov(X,X) = -2\,V(X) = -2 \cdot 2 = -4.
Como \sigma_X = \sqrt{V(X)} = \sqrt{2} e \sigma_Y = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2},
\rho_{XY} = \frac{\Cov(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y} = \frac{-4}{\sqrt{2}\,\bigl(2\sqrt{2}\bigr)} = \frac{-4}{2\cdot2} = -1.

Resposta

a) E(Y) = -3
b) V(Y) = 8
c) E\bigl(X^2 - Y^2\bigr) = -6
d) \rho_{XY} = -1

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