2- (6 pontos) Considere um dado viciado em que, a chance de sair um número impar (exceto \circ 1 ) é o dobro de sair um número par (exceto o 6), Já o número 1 tem chance de metade do número impar e o 6 tem chance de metade do número 1. Agora, em um jogo com esse dado, um apostador ganha \mathrm{R} \ 50,00 quando tira 6 , ganha\mathrm{R} $30,00 quando tira 1, perde\mathrm{R} $ 10,00 quando tira um impar (diferente de 1) e perdeR $10,00$ quando tira um par diferente de 6 .
a) Dê a função de probabilidade desse jogo e esboce o gráfico
b) Dê a função de distribuição acumulada desse jogo e esboce o gráfico
c) Em média, quanto um jogador ganha (ou perde) nesse jogo?

Passo 1

O enunciado descreve um jogo em que se lança um dado viciado com faces \{1,2,3,4,5,6\}\) e o ganho \(X\) vale \[X=\begin{cases} 50, & \text{se sair }6,\\\\ 30, & \text{se sair }1,\\\\ -10, & \text{se sair }2,3,4\text{ ou }5. \end{cases}
As probabilidades são relacionadas assim: cada ímpar exceto 1\] (faces \(3 e 5) tem chance o dobro de cada par exceto 6 (faces 2 e 4); a face 1 tem metade da chance de cada um desses ímpares e a face 6 tem metade da chance da face 1.
Conteúdo: probabilidade discreta, função massa, função de distribuição acumulada e valor esperado.

Passo 2

Denotemos
P(\{2\})=P(\{4\})=y,\quad P(\{3\})=P(\{5\})=x,\quad P(\{1\})=\tfrac{1}{2} x,\quad P(\{6\})=\tfrac{1}{2} P(\{1\})=\tfrac{1}{4} x.
A condição “ímpar ( 3,5) com prob.,dobro de par ( 2,4)” dá x=2y. E a soma das seis probabilidades deve valer 1:
2y+2x+\tfrac{1}{2} x+\tfrac{1}{4} x=1.

Passo 3

Substituindo x=2y em
2y+2(2y)+\tfrac12(2y)+\tfrac14(2y)=1
temos
2y+4y+y+\tfrac12y=1 \quad\Longrightarrow\quad 7{,}5\,y=1 \quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac{1}{7{,}5}=\tfrac{2}{15},
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x=2y=\tfrac{4}{15},\quad P(\{1\})=\tfrac12x=\tfrac{2}{15},\quad P(\{6\})=\tfrac14x=\tfrac{1}{15}.

Passo 4

A função de probabilidade de X é
P(X=50)=P(\{6\})=\tfrac{1}{15},\quad P(X=30)=P(\{1\})=\tfrac{2}{15},\quad P(X=-10)=P(\{2,3,4,5\})=2y+2x= \tfrac{2}{15}+\tfrac{4}{15}+\tfrac{2}{15}+\tfrac{4}{15}=\tfrac{12}{15}.
Esboço do gráfico: pontos em -10 com altura 12/15, em 30 com 2/15 e em 50 com 1/15.

Passo 5

A função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x)\) é \[F(x)= \begin{cases} 0, & x<-10,\\[6pt] \tfrac{12}{15}, & -10\le x<30,\\[6pt] \tfrac{12}{15}+\tfrac{2}{15}=\tfrac{14}{15}, & 30\le x<50,\\[6pt] 1, & x\ge50. \end{cases}
Esboço: degrau em -10\] para \(\tfrac{12}{15}, em 30 para \tfrac{14}{15} e em 50 para 1.]

Passo 6

O ganho médio é
E[X]=50\cdot\tfrac{1}{15}+30\cdot\tfrac{2}{15}+(-10)\cdot\tfrac{12}{15} =\frac{50+60-120}{15}=\frac{-10}{15}=-\tfrac{2}{3}.

Resposta

(a)
P(X=50)=\tfrac{1}{15},\quad P(X=30)=\tfrac{2}{15},\quad P(X=-10)=\tfrac{12}{15}.
Gráfico: pontos em [-10,30,50) com alturas 12/15,2/15,1/15.
(b)
F(x)= \begin{cases} 0, & x<-10,\\\\ 12/15, & -10\le x<30,\\\\ 14/15, & 30\le x<50,\\\\ 1, & x\ge50. \end{cases}
Gráfico: degraus em -10,30,50\] para \(12/15,14/15,1.
(c)
E[X]=-\tfrac{2}{3}\text{ R\$ (média de perda).}é

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