6- (3 pontos) Uma moeda viciada, com a probabilidade de cara sendo o quíntuplo da probabilidade de coroa, é lançada por 10 vezes. Dê a probabilidade de:
a) Que se tenha 5 caras
b) Que saiam pelo menos 2 caras
c) Que a primeira cara saia no 6^{\circ} lançamento

Passo 1

O enunciado fala de uma moeda viciada lançada n=10 vezes, onde a probabilidade de cara é quíntuplo da de coroa. Precisamos usar a distribuição binomial para os itens (a) e (b) e a distribuição geométrica para o item (c).

Passo 2

Seja p a probabilidade de sair cara e q=1-p a de sair coroa. Como p=5q e p+q=1, temos
p=5(1-p)\quad\Longrightarrow\quad6p=5\quad\Longrightarrow\quad p=\frac{5}{6},
q=1-p=\frac{1}{6}.

Passo 3

Para (a), o número de caras X em 10 lançamentos segue X\sim\mathrm{Binomial}(n=10,p=\tfrac{5}{6}). Logo,
P(X=5) =\binom{10}{5}\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^{5}\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr)^{5}.

Passo 4

Para (b), queremos P(X\ge2)=1-P(X\le1). Calculamos
P(X=0)=\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr)^{10}, \quad P(X=1)=10\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr)^{9},
então
P(X\ge2) =1-\Bigl[\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr)^{10} +10\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr)^{9}\Bigr].

Passo 5

Para (c), a distribuição do número de lançamentos até a primeira cara é geométrica com parâmetro p=\tfrac{5}{6}. A probabilidade de a primeira cara ocorrer justamente no sexto lançamento é
P(Y=6) =\underbrace{q^{5}}_{\text{5 coroas seguidas}}\;p =\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr)^{5}\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr).

Resposta

a) \displaystyle P(X=5)=\binom{10}{5}\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^{5}\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{5}.
b) \displaystyle P(X\ge2)=1-\Bigl[\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{10}+10\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{9}\Bigr].
c) \displaystyle P(\text{1ª cara no 6.º})=\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{5}\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr).ªº

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