6- (3 pontos) Uma moeda viciada, com a probabilidade de cara sendo o quíntuplo da probabilidade de coroa, é lançada por 10 vezes. Dê a probabilidade de:
a) Que se tenha 5 caras
b) Que saiam pelo menos 2 caras
c) Que a primeira cara saia no 6^{\circ} lançamento
Passo 1
O enunciado fala de uma moeda viciada lançada n=10 vezes, onde a probabilidade de cara é quíntuplo da de coroa. Precisamos usar a distribuição binomial para os itens (a) e (b) e a distribuição geométrica para o item (c).
Passo 2
Seja p a probabilidade de sair cara e q=1-p a de sair coroa. Como p=5q e p+q=1, temos
Para (c), a distribuição do número de lançamentos até a primeira cara é geométrica com parâmetro p=\tfrac{5}{6}. A probabilidade de a primeira cara ocorrer justamente no sexto lançamento é
a) \displaystyle P(X=5)=\binom{10}{5}\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^{5}\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{5}.
b) \displaystyle P(X\ge2)=1-\Bigl[\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{10}+10\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{9}\Bigr].
c) \displaystyle P(\text{1ª cara no 6.º})=\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{5}\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr).ªº