Num total de 85 firmas que se dedicam ao ramo de insumos, foram obtidos dados relativos ao consumo semanal do produto A. Essa amostra forneceu os parâmetros: \bar{X}=28,5 e \sigma=7,06. Podemos afirmar, com base nessa amostra e, admitindo normalidade dos dados que pelo menos 50 dessas firmas apresentam um consumo semanal superior a 25 unidades do produto A ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra de tamanho n=85 de firmas cujo consumo semanal do produto A é aproximadamente normal com média amostral \bar X=28{,}5 e desvio-padrão populacional (assumido) \sigma=7{,}06. Queremos saber se podemos afirmar que pelo menos 50 dessas 85 firmas apresentam consumo semanal superior a 25 unidades. Para isso vamos:
  1. Calcular a probabilidade teórica p=P(X>25) para X\sim N(28{,}5,\,7{,}06^2).
  2. Estimar o número esperado de firmas com X>25 e comparar com 50.
  3. Fazer um teste de proporção para verificar se podemos rejeitar a hipótese de que o número de firmas com consumo acima de 25 seja menor ou igual a 50.

Passo 2

Calculamos
p \;=\; P(X>25) \;=\; 1 - P\bigl(Z\le \tfrac{25 - 28{,}5}{7{,}06}\bigr)
onde
Z\;=\;\frac{X - 28{,}5}{7{,}06} \;\sim\;N(0,1).
O valor padronizado é
z_0 \;=\;\frac{25 - 28{,}5}{7{,}06} \;=\;-0{,}4964.
Então
p \;=\; 1 - \Phi(-0{,}4964) \;=\; \Phi(0{,}4964) \;\approx\;0{,}6908.

Passo 3

O número esperado de firmas com consumo acima de 25 é
n \cdot p \;=\;85\times 0{,}6908\;\approx\;58{,}7,
o que já sugere que, em média, cerca de 59 firmas ultrapassam 25 unidades.

Passo 4

Para dar um argumento mais formal, façamos um teste de hipótese para a proporção
\hat p \;=\;\frac{\text{número observado com }X>25}{85}ú
sob
H_0:\;p\le \frac{50}{85}\quad\text{versus}\quad H_1:\;p>\frac{50}{85}.
Usamos \hat p\simeq p\approx0{,}6908 como estimativa e p_0=50/85\approx0{,}5882. O erro padrão sob H_0 é
\mathrm{SE} \;=\; \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} \;=\; \sqrt{\frac{0{,}5882\times 0{,}4118}{85}} \;\approx\;0{,}0534.
O estatístico z vale
z \;=\; \frac{\hat p - p_0}{\mathrm{SE}} \;=\; \frac{0{,}6908 - 0{,}5882}{0{,}0534} \;\approx\;1{,}92.
O p
-valor para teste unilateral H_1:p>p_0 é
1 - \Phi(1{,}92) \;\approx\;0{,}0274.
Como p
-valor <0{,}05, rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Assim, há evidência suficiente para afirmar que mais de 50 firmas têm consumo superior a 25 unidades.

Resposta

Sim. A probabilidade teórica de consumo acima de 25 é cerca de 0{,}691, o que dá em média 85\times0{,}691\approx58{,}7 firmas. Num teste de proporção unilateral, obtemos z\approx1{,}92 e p
-valor 0{,}027<0{,}05, de modo que rejeitamos a hipótese de que apenas 50 (ou menos) firmas superem 25 unidades. Portanto podemos afirmar, ao nível de 5\%, que pelo menos 50 firmas consomem mais que 25 unidades.

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