Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48.000 Km e desvio padrão 2000 Km . Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso.
Dure entre 45000 e 50000 Km .

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a probabilidade de que um pneu escolhido ao acaso dure entre 45.000 e 50.000 Km. Sabemos que o desgaste dos pneus segue uma distribuição normal com média de 48.000 Km e desvio padrão de 2.000 Km. Para resolver, vamos usar conceitos de distribuição normal e cálculos de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos padronizar os valores 45.000 Km e 50.000 Km para encontrar os valores $ z $ correspondentes na distribuição normal padrão. A fórmula para padronização é:
z
onde:
  • $ X $ é o valor da variável (durabilidade do pneu),
  • $ \mu $ é a média (48.000 Km),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (2.000 Km).

Passo 3

Vamos calcular o valor $ z $ para 45.000 Km:
z

Passo 4

Agora, calculamos o valor $ z $ para 50.000 Km:
z

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar as probabilidades correspondentes a $ z_1 = -1,5 $ e $ z_2 = 1 $ usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora de probabilidades.
Sabemos que:
  • $ P(Z < -1,5) \approx 0,0668 $
  • $ P(Z < 1) \approx 0,8413 $

Passo 6

Para encontrar a probabilidade de que a durabilidade esteja entre 45.000 e 50.000 Km, subtraímos as duas probabilidades:
P(45000 < X < 50000) = P(Z < 1) - P(Z < -1,5)
P = 0,8413 - 0,0668 = 0,7745

Resposta

A probabilidade de um pneu escolhido ao acaso durar entre 45.000 e 50.000 Km é aproximadamente 77,45%.

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