Uma fábrica possui 3 máquinas que produzem parafusos. A máquina A produz 40 % dos parafusos a máquina B 30 % e a máquina C o restante. A produção de parafusos defeituosos das máquinas A,B e C são, respectivamente, 1,5 %, 5 % e 2 %. Um parafuso foi selecionado ao acaso:
d) Qual a probabilidade de ser da máquina C, dado que o parafuso é defeituoso?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma fábrica com três máquinas (A, B e C) que produzem parafusos. Cada máquina tem uma certa porcentagem da produção total e uma taxa específica de parafusos defeituosos. Queremos descobrir qual é a probabilidade de um parafuso defeituoso ter sido produzido pela máquina C.
Conteúdo da matéria: Probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar: As porcentagens de produção de cada máquina e as taxas de defeito de cada uma delas.

Passo 2

Vamos listar as informações que temos:
  • Produção das máquinas:
    • Máquina A: 40% dos parafusos.
    • Máquina B: 30% dos parafusos.
    • Máquina C: 30% dos parafusos (já que é o restante).
  • Taxas de parafusos defeituosos:
    • Máquina A: 1,5%.
    • Máquina B: 5%.
    • Máquina C: 2%.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de o parafuso defeituoso ser da máquina C, dado que ele é defeituoso, vamos usar o Teorema de Bayes. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(C | D) = P(D | C) cdot P(C)P(D)
Onde:
  • é a probabilidade de ser da máquina C, dado que é defeituoso.
  • é a probabilidade de um parafuso ser defeituoso dado que veio da máquina C.
  • é a probabilidade de um parafuso ser produzido pela máquina C.
  • é a probabilidade total de um parafuso ser defeituoso.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular P(D) = P(A) cdot P(D | A) + P(B) cdot P(D | B) + P(C) cdot P(D | C) , a probabilidade total de um parafuso ser defeituoso. Isso inclui parafusos defeituosos de todas as máquinas:
P(D) = 0,40 cdot 0,015 + 0,30 cdot 0,05 + 0,30 cdot 0,02
Substituindo os valores:
P(D) = 0,006 + 0,015 + 0,006
P(D) = 0,027 (ou 2,7%)

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar P(C | D) = P(D | C) cdot P(C)P(D) = 0,02 cdot 0,300,027 :
P(C | D) = 0,0060,027 approx 0,2222

Resposta

A probabilidade de um parafuso defeituoso ter sido produzido pela máquina C é aproximadamente 22,!22%.

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