Uma fábrica possui 3 máquinas que produzem parafusos. A máquina A produz
dos parafusos a máquina B
e a máquina C o restante. A produção de parafusos defeituosos das máquinas A,B e C são, respectivamente,
e
. Um parafuso foi selecionado ao acaso:
d) Qual a probabilidade de ser da máquina C, dado que o parafuso é defeituoso?
d) Qual a probabilidade de ser da máquina C, dado que o parafuso é defeituoso?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma fábrica com três máquinas (A, B e C) que produzem parafusos. Cada máquina tem uma certa porcentagem da produção total e uma taxa específica de parafusos defeituosos. Queremos descobrir qual é a probabilidade de um parafuso defeituoso ter sido produzido pela máquina C.
Conteúdo da matéria: Probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar: As porcentagens de produção de cada máquina e as taxas de defeito de cada uma delas.
Passo 2
Vamos listar as informações que temos:
-
Produção das máquinas:
- Máquina A:
dos parafusos. - Máquina B:
dos parafusos. - Máquina C:
dos parafusos (já que é o restante).
- Máquina A:
-
Taxas de parafusos defeituosos:
- Máquina A:
. - Máquina B:
. - Máquina C:
.
- Máquina A:
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de o parafuso defeituoso ser da máquina C, dado que ele é defeituoso, vamos usar o Teorema de Bayes. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Onde:
-
é a probabilidade de ser da máquina C, dado que é defeituoso. -
é a probabilidade de um parafuso ser defeituoso dado que veio da máquina C. -
é a probabilidade de um parafuso ser produzido pela máquina C. -
é a probabilidade total de um parafuso ser defeituoso.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
, a probabilidade total de um parafuso ser defeituoso. Isso inclui parafusos defeituosos de todas as máquinas:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de um parafuso defeituoso ter sido produzido pela máquina C é aproximadamente
.