Em uma fábrica, a probabilidade de um item produzido ser defeituoso é
. Os itens são inspecionados independentemente uns dos outros. Considere que um lote de 20 itens é selecionado aleatoriamente. Seja
a variável aleatória que representa o número de itens defeituosos no lote.
Determine a função de probabilidade
, onde
é o número de itens defeituosos (
).
Determine a função de probabilidade
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de encontrar itens defeituosos em uma fábrica. Estamos trabalhando com probabilidade binomial, que é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (neste caso, defeituoso ou não defeituoso). Aqui, temos:
- Probabilidade de sucesso (item defeituoso): $ p = 0,1 $
- Número de tentativas (itens inspecionados): $ n = 20 $
Vamos usar essa informação para encontrar a função de probabilidade $ P(X = k) $, que nos dá a probabilidade de exatamente $ k $ itens serem defeituosos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos (itens defeituosos) em $ n $ tentativas. A fórmula é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ itens defeituosos entre $ n $ itens.
- $ p^k $ é a probabilidade de obter $ k $ itens defeituosos.
- $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de obter os $ n - k $ itens que não são defeituosos.
Passo 3
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- Coeficiente binomial ($ \binom{n}{k} $):
Isso nos dá o número de combinações possíveis de escolher $ k $ itens defeituosos de 20.
- Probabilidade dos itens defeituosos ($ p^k $):
- Probabilidade dos itens não defeituosos ($ (1 - p)^{n - k} $):
Passo 4
Agora, juntando tudo, a função de probabilidade fica:
Isso significa que para cada valor de $ k $ (de 0 a 20), podemos calcular a probabilidade correspondente usando essa fórmula.
Resposta
A função de probabilidade $ P(X = k) $ para o número de itens defeituosos em um lote de 20 é dada por: