Em uma fábrica, a probabilidade de um item produzido ser defeituoso é p=0,1. Os itens são inspecionados independentemente uns dos outros. Considere que um lote de 20 itens é selecionado aleatoriamente. Seja X a variável aleatória que representa o número de itens defeituosos no lote.
Determine a função de probabilidade P(X=k), onde k é o número de itens defeituosos ( k=0,1,2, ldots, 20 ).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de encontrar itens defeituosos em uma fábrica. Estamos trabalhando com probabilidade binomial, que é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (neste caso, defeituoso ou não defeituoso). Aqui, temos:
  • Probabilidade de sucesso (item defeituoso): $ p = 0,1 $
  • Número de tentativas (itens inspecionados): $ n = 20 $
Vamos usar essa informação para encontrar a função de probabilidade $ P(X = k) $, que nos dá a probabilidade de exatamente $ k $ itens serem defeituosos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula da distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos (itens defeituosos) em $ n $ tentativas. A fórmula é:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ itens defeituosos entre $ n $ itens.
  • $ p^k $ é a probabilidade de obter $ k $ itens defeituosos.
  • $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de obter os $ n - k $ itens que não são defeituosos.

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial ($ \binom{n}{k} $):
binomnk
Isso nos dá o número de combinações possíveis de escolher $ k $ itens defeituosos de 20.
  1. Probabilidade dos itens defeituosos ($ p^k $):
binom20k = 20!k! times (20 - k)!
  1. Probabilidade dos itens não defeituosos ($ (1 - p)^{n - k} $):
k

Passo 4

Agora, juntando tudo, a função de probabilidade fica:
P(X = k) = binom20k times 0,1^k times 0,9^20 - k
Isso significa que para cada valor de $ k $ (de 0 a 20), podemos calcular a probabilidade correspondente usando essa fórmula.

Resposta

A função de probabilidade $ P(X = k) $ para o número de itens defeituosos em um lote de 20 é dada por:
P(X = k)

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