Uma urna contém 7 bolas numeradas de 1 a 7 . Suponha que uma bola seja retirada aleatoriamente dessa urna e que todas as bolas tenham a mesma probabilidade de serem escolhidas. Seja X a variável aleatória que representa o número na bola retirada.
Encontre o valor esperado (média) e a variância da variável aleatória X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com 7 bolas, numeradas de 1 a 7. Quando tiramos uma bola, cada uma tem a mesma chance de ser escolhida. A variável aleatória $ X $ representa o número da bola que a gente tira. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado (que é tipo a média) e a variância da variável $ X $.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de probabilidade, como média de uma distribuição discreta e variância. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de uma variável aleatória discreta. A fórmula é:
E(X) = sumi=1^n xi cdot P(xi)
Onde:
  • $ x_i $ são os possíveis valores que $ X $ pode assumir.
  • $ P(x_i) $ é a probabilidade de cada $ x_i $ acontecer.
No nosso caso, as bolas são numeradas de 1 a 7, e todas têm a mesma chance de serem tiradas. Então, cada $ P(x_i) = \frac{1}{7} $.

Passo 3

Vamos calcular o valor esperado $ E(X) $:
E(X)
Primeiro, somamos todos os números de 1 a 7:
E(X) = sumi=1^7 xi cdot 17 = 17 cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)
Então:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28
Portanto, o valor esperado $ E(X) $ é 4.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância da variável $ X $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em relação à média.
A fórmula da variância é:
X
Primeiro, precisamos encontrar $ E(X^2) $, que é o valor esperado do quadrado de $ X $:
X
Calculando cada quadrado:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Então:
E(X^2)

Passo 5

Agora que temos $ E(X) = 4 $ e $ E(X^2) = 20 $, podemos calcular a variância:
E(X) = 4

Resposta

O valor esperado $ E(X) $ é 4 e a variância $ Var(X) $ é 4.

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