Uma urna contém 7 bolas numeradas de 1 a 7 . Suponha que uma bola seja retirada aleatoriamente dessa urna e que todas as bolas tenham a mesma probabilidade de serem escolhidas. Seja
a variável aleatória que representa o número na bola retirada.
Encontre o valor esperado (média) e a variância da variável aleatória
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Encontre o valor esperado (média) e a variância da variável aleatória
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com 7 bolas, numeradas de 1 a 7. Quando tiramos uma bola, cada uma tem a mesma chance de ser escolhida. A variável aleatória $ X $ representa o número da bola que a gente tira. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado (que é tipo a média) e a variância da variável $ X $.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de probabilidade, como média de uma distribuição discreta e variância. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor esperado de uma variável aleatória discreta. A fórmula é:
Onde:
- $ x_i $ são os possíveis valores que $ X $ pode assumir.
- $ P(x_i) $ é a probabilidade de cada $ x_i $ acontecer.
No nosso caso, as bolas são numeradas de 1 a 7, e todas têm a mesma chance de serem tiradas. Então, cada $ P(x_i) = \frac{1}{7} $.
Passo 3
Vamos calcular o valor esperado $ E(X) $:
Primeiro, somamos todos os números de 1 a 7:
Então:
Portanto, o valor esperado $ E(X) $ é 4.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância da variável $ X $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em relação à média.
A fórmula da variância é:
Primeiro, precisamos encontrar $ E(X^2) $, que é o valor esperado do quadrado de $ X $:
Calculando cada quadrado:
Então:
Passo 5
Agora que temos $ E(X) = 4 $ e $ E(X^2) = 20 $, podemos calcular a variância:
Resposta
O valor esperado $ E(X) $ é 4 e a variância $ Var(X) $ é 4.