A vida útil de certo componente eletrônico é, em média, 10.000 horas e apresenta distribuição exponencial. Após quantas horas se espera que 25% dos componentes tenham falhado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a vida útil de um componente eletrônico, que, em média, dura 10.000 horas e segue uma distribuição exponencial. Nosso objetivo é descobrir após quantas horas aproximadamente 25% desses componentes já terão falhado. Para resolver isso, vamos precisar entender como a distribuição exponencial funciona e usar a fórmula adequada para encontrar o tempo desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na distribuição exponencial, a média (ou valor esperado) é dada por:
Onde:
-
é a média (10.000 horas, nesse caso). -
é a taxa de falha que queremos encontrar.
Como sabemos a média, podemos rearranjar a fórmula para encontrar
:
Passo 3
Agora, queremos descobrir o tempo
tal que 25% dos componentes tenham falhado, ou seja, a probabilidade de falha até o tempo
seja 0,25. Na distribuição exponencial, a função de distribuição acumulada (CDF) é:
Queremos que isso seja igual a 0,25:
Passo 4
Vamos resolver a equação para
:
Para se livrar do exponencial, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 5
Sabemos que
, então substituímos:
Agora, vamos calcular o valor numérico. Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, espera-se que aproximadamente 2.877 horas se passem para que 25% dos componentes tenham falhado.