A vida útil de certo componente eletrônico é, em média, 10.000 horas e apresenta distribuição exponencial. Após quantas horas se espera que 25% dos componentes tenham falhado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a vida útil de um componente eletrônico, que, em média, dura 10.000 horas e segue uma distribuição exponencial. Nosso objetivo é descobrir após quantas horas aproximadamente 25% desses componentes já terão falhado. Para resolver isso, vamos precisar entender como a distribuição exponencial funciona e usar a fórmula adequada para encontrar o tempo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na distribuição exponencial, a média (ou valor esperado) é dada por:
mu = 1lambda
Onde:
  • mu é a média (10.000 horas, nesse caso).
  • lambda é a taxa de falha que queremos encontrar.
Como sabemos a média, podemos rearranjar a fórmula para encontrar lambda:
lambda = 1mu = 110000 horas^-1

Passo 3

Agora, queremos descobrir o tempo t tal que 25% dos componentes tenham falhado, ou seja, a probabilidade de falha até o tempo t seja 0,25. Na distribuição exponencial, a função de distribuição acumulada (CDF) é:
P(T <= t) = 1 - e^-lambda t
Queremos que isso seja igual a 0,25:
1 - e^-lambda t = 0,25

Passo 4

Vamos resolver a equação para t:
e^-lambda t = 1 - 0,25 e^-lambda t = 0,75
Para se livrar do exponencial, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
-lambda t = ln(0,75) t = -ln(0,75)lambda

Passo 5

Sabemos que lambda = 110000, então substituímos:
t = -ln(0,75)1/10000 t = -10000 cdot ln(0,75)
Agora, vamos calcular o valor numérico. Sabemos que ln(0,75) approx -0,28768207, então:
t = -10000 cdot (-0,28768207) t approx 2876,82 horas

Resposta

Portanto, espera-se que aproximadamente 2.877 horas se passem para que 25% dos componentes tenham falhado.

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