Em uma fábrica, a probabilidade de um item produzido ser defeituoso é p=0,1. Os itens são inspecionados independentemente uns dos outros. Considere que um lote de 20 itens é selecionado aleatoriamente. Seja X a variável aleatória que representa o número de itens defeituosos no lote.
Encontre o valor esperado (média) e a variância da variável aleatória X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fábrica onde a chance de um item ser defeituoso é de $ p = 0,1 $ (ou seja, 10%). Sabemos que cada item é inspecionado de forma independente. Queremos descobrir o valor esperado (a média) e a variância da variável aleatória $ X $, que representa o número de itens defeituosos em um lote de 20 itens. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial da matéria de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a distribuição binomial. Ela é usada quando temos um certo número de tentativas independentes (n), cada uma com duas possíveis saídas: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada item testado pode ser defeituoso (sucesso) ou não defeituoso (fracasso). A probabilidade de sucesso é $ p = 0,1 $ e de fracasso é $ q = 1 - p = 0,9 $. Aqui, a gente tem $ n = 20 $ itens no lote.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado ou média de $ X $. Na distribuição binomial, a média é dada pela fórmula:
X
Substituindo os valores que temos:
E[X] = n times p
Então, esperamos, em média, que 2 itens sejam defeituosos em cada lote de 20.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a variância de $ X $. A variância na distribuição binomial é calculada por:
X
Aplicando os valores conhecidos:
Var(X) = n times p times (1 - p)
Isso nos dá uma ideia de quão dispersos os números de itens defeituosos podem estar em diferentes lotes.

Resposta

O valor esperado (média) da variável aleatória $ X $ é 2 e a variância de $ X $ é 1,8.

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