Em uma fábrica, a probabilidade de um item produzido ser defeituoso é p=0,1. Os itens são inspecionados independentemente uns dos outros. Considere que um lote de 20 itens é selecionado aleatoriamente. Seja X a variável aleatória que representa o número de itens defeituosos no lote.
Qual é a probabilidade de que no máximo 2 itens sejam defeituosos no lote?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade onde em uma fábrica, cada item produzido tem uma chance de p = 0,1 de ser defeituoso. Queremos saber qual a probabilidade de, em um lote de 20 itens, no máximo 2 sejam defeituosos. Vamos usar o Teorema de Bernoulli e a Distribuição Binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos uma sequência de experimentos independentes, cada um com dois possíveis resultados: “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso, “sucesso” pode ser considerado um item defeituoso.
A fórmula da probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
  • n é o número total de tentativas.
  • k é o número de sucessos desejados.

Passo 3

Como queremos a probabilidade de no máximo 2 itens defeituosos, precisamos calcular a soma das probabilidades de ter 0, 1 ou 2 defeituosos.
Matematicamente, isso fica:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos P(X = 0):
P(X = 0) = binom200 (0,1)^0 (0,9)^20 = 1 times 1 times 0,9^20
Calculando 0,9^20:
0,9^20 approx 0,1216
Então,
P(X = 0) approx 0,1216

Passo 5

Agora, calculamos P(X = 1):
P(X = 1) = binom201 (0,1)^1 (0,9)^19 = 20 times 0,1 times 0,9^19
Calculando 0,9^19:
0,9^19 approx 0,1352
Então,
P(X = 1) approx 20 times 0,1 times 0,1352 = 0,2704

Passo 6

Por fim, calculamos P(X = 2):
P(X = 2) = binom202 (0,1)^2 (0,9)^18 = 190 times 0,01 times 0,9^18
Calculando 0,9^18:
0,9^18 approx 0,1502
Então,
P(X = 2) approx 190 times 0,01 times 0,1502 = 0,2854

Passo 7

Agora, somamos as probabilidades:
P(X <= 2) = 0,1216 + 0,2704 + 0,2854 = 0,6774

Resposta

A probabilidade de que no máximo 2 itens sejam defeituosos no lote é aproximadamente 67,74%.

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