Em uma fábrica, a probabilidade de um item produzido ser defeituoso é
. Os itens são inspecionados independentemente uns dos outros. Considere que um lote de 20 itens é selecionado aleatoriamente. Seja
a variável aleatória que representa o número de itens defeituosos no lote.
Qual é a probabilidade de que no máximo 2 itens sejam defeituosos no lote?
Qual é a probabilidade de que no máximo 2 itens sejam defeituosos no lote?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade onde em uma fábrica, cada item produzido tem uma chance de
de ser defeituoso. Queremos saber qual a probabilidade de, em um lote de 20 itens, no máximo 2 sejam defeituosos. Vamos usar o Teorema de Bernoulli e a Distribuição Binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos uma sequência de experimentos independentes, cada um com dois possíveis resultados: “sucesso” ou “fracasso”. No nosso caso, “sucesso” pode ser considerado um item defeituoso.
A fórmula da probabilidade de exatamente
sucessos em
tentativas é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas. -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa. -
é o número total de tentativas. -
é o número de sucessos desejados.
Passo 3
Como queremos a probabilidade de no máximo 2 itens defeituosos, precisamos calcular a soma das probabilidades de ter 0, 1 ou 2 defeituosos.
Matematicamente, isso fica:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Calculando
:
Então,
Passo 5
Agora, calculamos
:
Calculando
:
Então,
Passo 6
Por fim, calculamos
:
Calculando
:
Então,
Passo 7
Agora, somamos as probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que no máximo 2 itens sejam defeituosos no lote é aproximadamente 67,74%.