O professor aplica uma avaliação em que a probabilidade de um aluno obter uma nota acima de 7 é de 0,6. Em uma classe de 20 alunos, qual a probabilidade de que exatamente 15 alunos consigam nota acima de 7?

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. O professor informa que a probabilidade de um aluno tirar uma nota acima de 7 é de 0,6. Temos uma classe com 20 alunos e queremos descobrir a probabilidade de exatamente 15 deles conseguirem essa nota. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é bem útil quando lidamos com situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso.

Passo 2

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o número total de tentativas (neste caso, 20 alunos).
  • é o número de sucessos desejados (15 alunos que tiram nota acima de 7).
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,6).
  • é a combinação de elementos tomados a , que calcula de quantas formas podemos escolher sucessos em tentativas.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a combinação binom2015 = 20!15! cdot (20 - 15)! = 20!15! cdot 5! = 15504 :

Passo 4

Agora, vamos calcular as potências de p^k = 0,6^15 approx 0,000470 e (1 - p)^n - k = 0,4^5 = 0,01024 :

Passo 5

Por fim, substituímos todos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(X = 15) = 15504 cdot 0,000470 cdot 0,01024 approx 0,074

Resposta

A probabilidade de que exatamente 15 alunos consigam nota acima de 7 é aproximadamente 7,4%.

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