Uma fábrica produz barras de chocolate cujo peso, em gramas, é uma variável aleatória X com média \mu=100 \mathrm{~g} e desvio padrão \sigma=5 \mathrm{~g}. Sabe-se que o peso de uma barra individual segue uma distribuição desconhecida, mas os pesos são independentes entre si.
Suponha que uma amostra aleatória de n=36 barras seja coletada. Qual é a probabilidade de que a média amostral do peso esteja entre 98 g e 102 g ?
(1,0)

Passo 1

O enunciado diz que o peso de cada barra é uma variável aleatória X independente com média \mu=100 g e desvio padrão \sigma=5 g. Foi coletada uma amostra de tamanho n=36 e queremos
calcular
P\bigl(98<\bar X<102\bigr).
O conteúdo envolvido é o Teorema Central do Limite, que nos permite aproximar a distribuição da média amostral por uma normal quando n é razoavelmente grande.

Passo 2

Pelo Teorema Central do Limite, a média amostral \bar X é aproximadamente normal com
\mu_{\bar X}=\mu=100
e
\sigma_{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{5}{\sqrt{36}} =\frac{5}{6} \approx0,8333.

Passo 3

Padronizando, definimos Z=\frac{\bar X-\mu_{\bar X}}{\sigma_{\bar X}}\sim N(0,1). Assim,
P\bigl(98<\bar X<102\bigr) =P\Bigl(\frac{98-100}{5/6}<Z<\frac{102-100}{5/6}\Bigr) =P(-2,4<Z<2,4).

Passo 4

Usando tabela da normal padrão, \Phi(2,4)\approx0,9918. Portanto,
P(-2,4<Z<2,4) =\Phi(2,4)-\Phi(-2,4) =2\Phi(2,4)-1 \approx2\cdot0,9918-1 =0,9836.

Resposta

A probabilidade aproximada é 0,9836 (ou 98,36\%).

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