Uma fábrica produz barras de chocolate cujo peso, em gramas, é uma variável aleatória X com média \mu=100 \mathrm{~g} e desvio padrão \sigma=5 \mathrm{~g}. Sabe-se que o peso de uma barra individual segue uma distribuição desconhecida, mas os pesos são independentes entre si.
b) (1,0) Qual deve ser o tamanho da amostra n para que a probabilidade de a média amostral estar entre 98 g e 102 g seja pelo menos 99 \% ?
Passo 1
O enunciado diz que temos variáveis independentes X_i com média \mu=100 g e desvio padrão \sigma=5 g, mas distribuição desconhecida. Queremos escolher o tamanho da amostra n de modo que
P\bigl(98 < \overline X < 102\bigr)\ge 0,99.
Como não conhecemos a forma da distribuição, usamos a desigualdade de Chebyshev para garantir essa probabilidade.
Passo 2
A desigualdade de Chebyshev afirma que, para qualquer variável aleatória com média \mu e variância finita,
P\bigl(|\overline X - \mu|\ge k\bigr)\;\le\;\frac{\Var(\overline X)}{k^2}.
Aqui queremos P\bigl(|\overline X-100|<2\bigr)\ge0,99, ou seja