Uma fábrica produz barras de chocolate cujo peso, em gramas, é uma variável aleatória X com média \mu=100 \mathrm{~g} e desvio padrão \sigma=5 \mathrm{~g}. Sabe-se que o peso de uma barra individual segue uma distribuição desconhecida, mas os pesos são independentes entre si.
b) (1,0) Qual deve ser o tamanho da amostra n para que a probabilidade de a média amostral estar entre 98 g e 102 g seja pelo menos 99 \% ?

Passo 1

O enunciado diz que temos variáveis independentes X_i com média \mu=100 g e desvio padrão \sigma=5 g, mas distribuição desconhecida. Queremos escolher o tamanho da amostra n de modo que
P\bigl(98 < \overline X < 102\bigr)\ge 0,99.
Como não conhecemos a forma da distribuição, usamos a desigualdade de Chebyshev para garantir essa probabilidade.

Passo 2

A desigualdade de Chebyshev afirma que, para qualquer variável aleatória com média \mu e variância finita,
P\bigl(|\overline X - \mu|\ge k\bigr)\;\le\;\frac{\Var(\overline X)}{k^2}.
Aqui queremos P\bigl(|\overline X-100|<2\bigr)\ge0,99, ou seja
P\bigl(|\overline X-100|\ge2\bigr)\le0,01.

Passo 3

Calculamos a variância da média amostral:
\Var(\overline X)=\frac{\Var(X)}{n}=\frac{\sigma^2}{n}=\frac{5^2}{n}=\frac{25}{n}.

Passo 4

Aplicando Chebyshev com k=2:
P\bigl(|\overline X-100|\ge2\bigr)\le\frac{25/n}{2^2}=\frac{25}{4\,n}.
Queremos \frac{25}{4\,n}\le0,01.

Passo 5

Resolvendo para n:
\frac{25}{4\,n}\le0,01 \quad\Longrightarrow\quad 25\le0,01\cdot4\,n \quad\Longrightarrow\quad 25\le0,04\,n \quad\Longrightarrow\quad n\ge\frac{25}{0,04}=625.

Resposta

O tamanho mínimo da amostra é n=625.

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