Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:
Pelo menos 12 tenham feito cursinho?
Pelo menos 12 tenham feito cursinho?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma universidade onde três em cada quatro alunos fizeram cursinho antes de prestar vestibular. A questão quer saber qual a probabilidade de, ao selecionar 16 alunos de forma aleatória, pelo menos 12 deles tenham feito cursinho.
Aqui, estamos lidando com probabilidade binomial, que é usada quando temos situações com dois possíveis resultados (neste caso, fazer ou não cursinho) e queremos calcular a chance de um determinado número de sucessos em um número fixo de tentativas. Vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da distribuição binomial no nosso problema:
- n é o número de tentativas, que aqui é o número de alunos selecionados: 16.
- k é o número de sucessos que queremos encontrar a probabilidade, que no caso é pelo menos 12 alunos que fizeram cursinho.
- p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa, que é a probabilidade de um aluno ter feito cursinho. Como três em cada quatro alunos fizeram cursinho, $ p = \frac{3}{4} $ ou 0,75.
- q é a probabilidade de fracasso, ou seja, um aluno não ter feito cursinho: $ q = 1 - p = \frac{1}{4} $ ou 0,25.
Passo 3
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
Como queremos a probabilidade de pelo menos 12 alunos terem feito cursinho, precisamos calcular a soma das probabilidades de exatamente 12, 13, 14, 15 e 16 alunos terem feito cursinho.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individualmente:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada combinação $ C(n, k) $:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular cada termo da probabilidade:
Passo 7
Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade de pelo menos 12 alunos terem feito cursinho:
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 12 dos 16 alunos selecionados tenham feito cursinho é de aproximadamente 63,1%.