Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:
Pelo menos 12 tenham feito cursinho?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma universidade onde três em cada quatro alunos fizeram cursinho antes de prestar vestibular. A questão quer saber qual a probabilidade de, ao selecionar 16 alunos de forma aleatória, pelo menos 12 deles tenham feito cursinho.
Aqui, estamos lidando com probabilidade binomial, que é usada quando temos situações com dois possíveis resultados (neste caso, fazer ou não cursinho) e queremos calcular a chance de um determinado número de sucessos em um número fixo de tentativas. Vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da distribuição binomial no nosso problema:
  • n é o número de tentativas, que aqui é o número de alunos selecionados: 16.
  • k é o número de sucessos que queremos encontrar a probabilidade, que no caso é pelo menos 12 alunos que fizeram cursinho.
  • p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa, que é a probabilidade de um aluno ter feito cursinho. Como três em cada quatro alunos fizeram cursinho, $ p = \frac{3}{4} $ ou 0,75.
  • q é a probabilidade de fracasso, ou seja, um aluno não ter feito cursinho: $ q = 1 - p = \frac{1}{4} $ ou 0,25.

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = C(n, k) times p^k times q^n - k
Onde $ C(n, k) $ é a combinação de n elementos tomados k a k, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
Como queremos a probabilidade de pelo menos 12 alunos terem feito cursinho, precisamos calcular a soma das probabilidades de exatamente 12, 13, 14, 15 e 16 alunos terem feito cursinho.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades individualmente:
P(12) = C(16, 12) times (0.75)^12 times (0.25)^4
P(13) = C(16, 13) times (0.75)^13 times (0.25)^3
P(14) = C(16, 14) times (0.75)^14 times (0.25)^2
P(15) = C(16, 15) times (0.75)^15 times (0.25)^1
P(16) = C(16, 16) times (0.75)^16 times (0.25)^0

Passo 5

Agora, vamos calcular cada combinação $ C(n, k) $:
C(n, k)
C(16, 12) = 16!12! times (16-12)! = 1820
C(16, 13) = 16!13! times (16-13)! = 560
C(16, 14) = 16!14! times (16-14)! = 120
C(16, 15) = 16!15! times (16-15)! = 16

Passo 6

Em seguida, vamos calcular cada termo da probabilidade:
P(12) = 1820 times (0.75)^12 times (0.25)^4 approx 1820 times 0.031676 times 0.003906 = 0.225
P(13) = 560 times (0.75)^13 times (0.25)^3 approx 560 times 0.023763 times 0.015625 = 0.21
P(14) = 120 times (0.75)^14 times (0.25)^2 approx 120 times 0.017823 times 0.0625 = 0.133
P(15) = 16 times (0.75)^15 times (0.25)^1 approx 16 times 0.013367 times 0.25 = 0.053
P(16) = 1 times (0.75)^16 times (0.25)^0 approx 1 times 0.010025 times 1 = 0.010

Passo 7

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter a probabilidade de pelo menos 12 alunos terem feito cursinho:
P(pelo menos 12) = P(12) + P(13) + P(14) + P(15) + P(16) approx 0.225 + 0.21 + 0.133 + 0.053 + 0.010 = 0.631

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 12 dos 16 alunos selecionados tenham feito cursinho é de aproximadamente 63,1%.

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