Uma fábrica produz, embala e vende argamassa. O produto é embalado por uma máquina com capacidade para 2.000 sacos por dia, regulada para 20 kg e sabe-se que o desvio padrão da produção é de
. Com base nesses dados, determine:
a)
o peso médio esperado por saco;
b)
o desvio padrão da distribuição amostral do peso médio dos sacos numa amostra de 40 sacos;
c)
a probabilidade de que uma amostra aleatória de 40 sacos, tenha peso médio maior que
;
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma fábrica que produz, embala e vende argamassa. Eles embalam 2.000 sacos por dia, cada um com um peso médio de 20 kg, e a variação no peso dos sacos tem um desvio padrão de 0,15 kg. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente média, desvio padrão e distribuição amostral, para resolver as partes a), b) e c) do exercício.
Passo 2
Parte a): Queremos encontrar o peso médio esperado por saco. Basicamente, isso é a média que a máquina está configurada para embalar, que já é dada no enunciado. Então, o peso médio esperado é simplesmente 20 kg por saco.
Passo 3
Parte b): Agora, precisamos calcular o desvio padrão da distribuição amostral do peso médio dos sacos em uma amostra de 40 sacos. Aqui, usamos a fórmula do erro padrão da média, que é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. A fórmula fica assim:
Onde:
-
(desvio padrão da produção) -
(tamanho da amostra)
Vamos calcular:
Passo 4
Parte c): Agora, queremos saber a probabilidade de que uma amostra aleatória de 40 sacos tenha um peso médio maior que 20,05 kg. Para isso, usamos a distribuição normal padrão. Primeiro, calculamos o valor z, que nos indica quantos desvios padrão o valor observado está acima da média.
A fórmula do z é:
Onde:
-
(peso médio observado) -
(peso médio esperado) -
(calculado na parte b)
Vamos calcular:
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade de z ser maior que 2,11. A tabela nos dá a probabilidade de z ser menor que 2,11, que é aproximadamente 0,9826. Portanto, a probabilidade de z ser maior que 2,11 é:
Resposta
a) O peso médio esperado por saco é de 20 kg.
b) O desvio padrão da distribuição amostral do peso médio dos sacos numa amostra de 40 sacos é aproximadamente 0,0237 kg.
c) A probabilidade de que uma amostra aleatória de 40 sacos tenha peso médio maior que 20,05 kg é de cerca de 1,74%.