Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de um produto A e y unidades de um produto B, sendo o custo mensal da produção conjunta dado por
C(x, y)=20.000+raiz8 x^2+7 y^2
No mês de dezembro, foram produzidas 3.000 unidades de A e 2.000 de unidades de B. No mês de dezembro, determine:
partial Cpartial x(3.000,2.000) e partial Cpartial y(3.000,2.000);

Passo 1

O enunciado nos dá a função de custo
C(x,y)=20.000+raiz8x^2+7y^2
e pede as derivadas parciais de C em (x,y)=(3000,2000). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia para a raiz quadrada.

Passo 2

Defina u=8x^2+7y^2. Então
C(x,y)=20.000+raizu
e, pela regra da cadeia,
partial Cpartial x =ddxl(raizur) =12raizu;partial upartial x =12raiz8x^2+7y^2;(16x) =8xraiz8x^2+7y^2
De modo análogo, como tfracpartial upartial y=14y,
partial Cpartial y =14y2raiz8x^2+7y^2 =7yraiz8x^2+7y^2

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(3000,2000). Primeiro o denominador comum:
raiz8cdot3000^2+7cdot2000^2 =raiz72,000,000+28,000,000 =raiz100,000,000 =10,000
Logo
partial Cpartial x(3000,2000) =8cdot300010,000=2,4, partial Cpartial y(3000,2000) =7cdot200010,000=1,4

Resposta

partial Cpartial x(3000,2000)=2,4
partial Cpartial y(3000,2000)=1,4

Exercícios relacionados