Uma fábrica produz uma peça através de duas operações: Inicialmente a peça é moldada numa máquina M e, em seguida, passa por uma de duas impressoras, I1 ou I2, sendo que 70 % das peças são impressas em I1. A probabilidade de uma peça apresentar defeito de moldagem é 0,03 . Além disso, a probabilidade de surgir um defeito de impressão é de 0,05 para I1 e de 0,02 para I2. Note que os defeitos de moldagem e de impressão são independentes entre si. No final de um dia, retira-se da produção total da fábrica uma peça ao acaso.
a) Qual a probabilidade da peça apresentar um defeito qualquer? R: 0.06977
b) Supondo que a peça apresenta um defeito de impressão, qual a probabilidade de ter sido impressa em I1. R: 0.85

Passo 1

Vamos lá! Temos uma fábrica que fabrica peças passando por duas etapas: moldagem na máquina M e depois impressão em uma das duas impressoras, I1 ou I2. A gente quer calcular probabilidades relacionadas aos defeitos nessas peças. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade básica e probabilidade condicional.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma peça apresentar qualquer defeito, seja de moldagem ou de impressão.

Passo 3

Sabemos que:
  • A probabilidade de defeito na moldagem é P(DM) = 0,03.
  • 70% das peças são impressas na I1 ( P(I1) = 0,7) e 30% na I2 ( P(I2) = 0,3).
  • A probabilidade de defeito na impressão é P(DI1) = 0,05 para I1 e P(DI2) = 0,02 para I2.

Passo 4

Primeiro, calculamos a probabilidade de defeito na impressão geral:
P(DI) = P(I1) times P(DI1) + P(I2) times P(DI2) = 0,7 times 0,05 + 0,3 times 0,02 = 0,035 + 0,006 = 0,041

Passo 5

Como os defeitos de moldagem e impressão são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem ao mesmo tempo é:
P(DM cap DI) = P(DM) times P(DI) = 0,03 times 0,041 = 0,00123

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da probabilidade de união para encontrar a probabilidade de qualquer defeito:
P(D) = P(DM) + P(DI) - P(DM cap DI) = 0,03 + 0,041 - 0,00123 = 0,06977

Passo 7

Parte b) Agora, queremos saber a probabilidade de uma peça ter sido impressa na I1 dado que ela apresenta um defeito de impressão.

Passo 8

Isso é um exemplo de probabilidade condicional. A fórmula que vamos usar é:
P(I1 | DI) = P(I1) times P(DI1)P(DI)

Passo 9

Substituindo os valores que já calculamos:
P(I1 | DI) = 0,7 times 0,050,041 = 0,0350,041 approx 0,8537

Resposta

A probabilidade de a peça ter sido impressa em I1, dado que apresenta um defeito de impressão, é aproximadamente 0,85.

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