Uma fábrica produz peças que são embaladas em caixas com 25 unidades. Para aceitar o lote enviado por essa fábrica, o controle de qualidade de uma empresa procede da seguinte forma. Sorteia uma caixa do lote e, em seguida, sorteia cinco peças, sem reposição, dessa mesma caixa.
Se constatar no máximo duas defeituosas, aceita o lote fornecido pela fábrica. Se a caixa sorteada tivesse 4 peças defeituosas, qual seria a probabilidade de rejeitar o lote?
Se constatar no máximo duas defeituosas, aceita o lote fornecido pela fábrica. Se a caixa sorteada tivesse 4 peças defeituosas, qual seria a probabilidade de rejeitar o lote?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma fábrica que embala peças em caixas com 25 unidades. A empresa que recebe essas caixas quer garantir a qualidade das peças. Para isso, eles pegam uma caixa aleatoriamente e, dentro dela, escolhem 5 peças sem devolver nenhuma. Se no máximo 2 dessas peças forem defeituosas, eles aceitam toda a remessa. Agora, a pergunta é: se sabemos que a caixa escolhida tem 4 peças defeituosas, qual a probabilidade de a empresa rejeitar a remessa?
Aqui, vamos trabalhar com probabilidade e combinações para resolver esse problema. Vamos precisar entender como calcular a probabilidade de encontrar mais de 2 peças defeituosas na amostra de 5 peças escolhidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos saber a probabilidade de rejeitar a remessa, ou seja, a probabilidade de encontrar mais de 2 peças defeituosas na amostra. Sabemos que a caixa tem 4 peças defeituosas em um total de 25.
Para resolver isso, vamos usar a probabilidade hipergeométrica, que é usada para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma amostra sem reposição de uma população finita.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
Onde:
- $ N $ é o tamanho total da população (25 peças).
- $ K $ é o número total de itens de sucesso na população (4 peças defeituosas).
- $ n $ é o tamanho da amostra (5 peças).
- $ k $ é o número de sucessos na amostra (número de peças defeituosas encontradas).
Passo 3
Queremos a probabilidade de rejeitar a remessa, ou seja, encontrar mais de 2 peças defeituosas. Isso significa que queremos calcular $ P(X \geq 3) $, que é a soma das probabilidades de encontrar exatamente 3 peças defeituosas e exatamente 4 peças defeituosas na amostra.
Então, temos:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da probabilidade hipergeométrica.
Passo 4
Calculando $ P(X = 3) $:
Explicando:
- $ \dbinom{4}{3} $ é o número de maneiras de escolher 3 peças defeituosas das 4 disponíveis.
- $ \dbinom{21}{2} $ é o número de maneiras de escolher 2 peças boas das 21 disponíveis.
- $ \dbinom{25}{5} $ é o número total de maneiras de escolher 5 peças de uma caixa de 25.
Passo 5
Calculando $ P(X = 4) $:
Explicando:
- $ \dbinom{4}{4} $ é o número de maneiras de escolher todas as 4 peças defeituosas.
- $ \dbinom{21}{1} $ é o número de maneiras de escolher 1 peça boa daquelas 21.
- $ \dbinom{25}{5} $ é novamente o número total de maneiras de escolher 5 peças.
Passo 6
Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
Para $ P(X = 3) $:
Então:
Para $ P(X = 4) $:
Então:
Passo 7
Agora, somamos as duas probabilidades para encontrar $ P(X \geq 3) $:
Resposta
A probabilidade de rejeitar o lote, dado que a caixa sorteada tem 4 peças defeituosas, é de aproximadamente 1,62%.