Os pesos de 10 pacotes de legumes embalados em gramos são os seguintes 995,1010,1005,1002,998,1000,996,996,999,999. Suponha que os pesos dos pacotes tem distribuição Normal, construir Intervalos de 95 % de confiança para a variância e o desvio-padrão da população.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem 10 pacotes de legumes com esses pesos: 995, 1010, 1005, 1002, 998, 1000, 996, 996, 999, 999 gramas. A pergunta é pra construir um intervalo de confiança de 95% tanto para a variância quanto para o desvio-padrão dessa população. Vamos precisar usar a distribuição Normal e umas fórmulas de estatística pra achar esses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos pesos. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade. Isso vai nos ajudar a entender o comportamento geral dos dados.
barx = 995 + 1010 + 1005 + 1002 + 998 + 1000 + 996 + 996 + 999 + 99910 = 999010 = 999 gramas

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a variância amostral. A variância mede o quanto os dados estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância amostral é:
s^2 = sum (xi - barx)^2n - 1
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
(995 - 999)^2 = 16 (1010 - 999)^2 = 121 (1005 - 999)^2 = 36 (1002 - 999)^2 = 9 (998 - 999)^2 = 1 (1000 - 999)^2 = 1 (996 - 999)^2 = 9 (996 - 999)^2 = 9 (999 - 999)^2 = 0 (999 - 999)^2 = 0
Somando tudo:
16 + 121 + 36 + 9 + 1 + 1 + 9 + 9 + 0 + 0 = 182
Então,
s^2 = 18210 - 1 = 1829 approx 20.22 gramas^2

Passo 4

Para construir o intervalo de confiança da variância, vamos usar a distribuição qui-quadrado (χ²). A fórmula para o intervalo é:
( (n-1)s^2chi^2alpha/2, (n-1)s^2chi^21-alpha/2 )
Aqui, $ n = 10 $, $ s^2 \approx 20.22 $, e $ \alpha = 0,05 $ (para 95% de confiança). Precisamos encontrar os valores críticos $ \chi^2_{0,025} $ e $ \chi^2_{0,975} $ com 9 graus de liberdade. Consultando a tabela de χ²:
n = 10

Passo 5

Agora, aplicamos os valores na fórmula:
Intervalo = ( 9 times 20.2219.023, 9 times 20.222.700 )
Calculando:
9 times 20.2219.023 approx 181.9819.023 approx 9.57 gramas^2 9 times 20.222.700 approx 181.982.700 approx 67.40 gramas^2
Então, o intervalo de confiança para a variância é aproximadamente (9,57 ; 67,40) gramas².

Passo 6

Para o desvio-padrão, basta tirar a raiz quadrada dos limites do intervalo da variância:
raiz9,57 approx 3,09 gramas raiz67,40 approx 8,21 gramas
Então, o intervalo de confiança para o desvio-padrão é aproximadamente (3,09 ; 8,21) gramas.

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a variância é aproximadamente (9,57 ; 67,40) gramas² e para o desvio-padrão é aproximadamente (3,09 ; 8,21) gramas.

Exercícios relacionados