Uma fábrica produz três tipos de sucos com concentrados:
  • Suco 1: 2 L+M+A=10 \mathrm{~L}
  • Suco 2: L+3 M+2 A=15 \mathrm{~L}
  • Suco 3: L+M+3 A=12 \mathrm{~L}
Montar e resolver o sistema para L (laranja), M (manga) e A (abacaxi).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as quantidades de concentrado de laranja L, manga M e abacaxi A que entram em cada tipo de suco. Isso gera um sistema linear 3\times 3. Vamos usar o método de eliminação de Gauss para resolver.

Passo 2

Escrevemos o sistema de equações:
2L + M + A = 10
L + 3M + 2A = 15
L + M + 3A = 12

Passo 3

Vamos eliminar L das segunda e terceira equações usando a primeira. Primeiro, note que metade da primeira é
\frac12\bigl(2L + M + A\bigr) = \frac12\cdot10 \quad\Longrightarrow\quad L + \tfrac12M + \tfrac12A = 5.
Agora subtraímos isso da segunda e da terceira:
Segunda menos metade da primeira:
\bigl(L + 3M + 2A\bigr) \;-\;\bigl(L + \tfrac12M + \tfrac12A\bigr) =15 - 5
0\cdot L + \tfrac{5}{2}M + \tfrac{3}{2}A = 10 \quad\Longrightarrow\quad 5M + 3A = 20 \tag{4}
Terceira menos metade da primeira:
\bigl(L + M + 3A\bigr) \;-\;\bigl(L + \tfrac12M + \tfrac12A\bigr) =12 - 5
0\cdot L + \tfrac12M + \tfrac{5}{2}A = 7 \quad\Longrightarrow\quad M + 5A = 14 \tag{5}

Passo 4

Agora resolvemos o sistema em M e A:
5M + 3A = 20 \quad(4)
M + 5A = 14 \quad(5)
Multiplicando (5) por 5:
5M + 25A = 70
e subtraindo (4):
(5M+25A)-(5M+3A)=70-20 \;\Longrightarrow\; 22A = 50 \;\Longrightarrow\; A = \frac{50}{22} = \frac{25}{11}.
Substituindo em (5):
M + 5\!\bigl(\tfrac{25}{11}\bigr)=14 \;\Longrightarrow\; M = 14 - \frac{125}{11} = \frac{154-125}{11} = \frac{29}{11}.

Passo 5

Por fim, voltamos à primeira equação para achar L:
2L + M + A = 10 \;\Longrightarrow\; 2L = 10 - \frac{29}{11} - \frac{25}{11} = 10 - \frac{54}{11} = \frac{110-54}{11} = \frac{56}{11}
L = \frac{56}{11}\;\Bigl/2 = \frac{28}{11}.

Resposta

L = \frac{28}{11}\,\mathrm{L},\quad M = \frac{29}{11}\,\mathrm{L},\quad A = \frac{25}{11}\,\mathrm{L}.

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