Um laboratório precisa misturar dois ingredientes para obter 100 g de uma fórmula com:
  • 30 \% de proteína (ingrediente A tem 40 \%, B tem 20 \% )
  • 20 \% de carboidratos (ingrediente A tem 10 \%, B tem 30 \% )
Montar e resolver o sistema para as quantidades x (de A) e y (de B).

Passo 1

O enunciado pede para misturar dois ingredientes A e B de modo a obter 100,g de fórmula contendo 30\% de proteína e 20\% de carboidratos. Cada ingrediente tem composição diferente: A tem 40\% de proteína e 10\% de carboidratos, enquanto B tem 20\% de proteína e 30\% de carboidratos. O conteúdo é um problema de sistema linear aplicado a misturas, em que vamos montar equações para proteína e carboidratos e resolver para as quantidades x e y.

Passo 2

Definimos as variáveis: \,x = massa (em gramas) do ingrediente A \,y = massa (em gramas) do ingrediente B
Como queremos exatamente 100,g de fórmula, teremos implicitamente x+y=100, mas usaremos diretamente as equações de proteína e carboidrato.

Passo 3

Equação de proteína: A mistura deve ter 30% de proteína em 100,g, ou seja, 30,g de proteína. Daí
0,40\,x \;+\;0,20\,y \;=\;30.
Equação de carboidrato: a mistura deve ter 20% de carboidratos, ou seja, 20,g de carboidrato. Daí
0,10\,x \;+\;0,30\,y \;=\;20.

Passo 4

Para eliminar y, podemos igualar os coeficientes de y. Multiplicamos a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
3\times(0,40\,x + 0,20\,y = 30)\;\Longrightarrow\;1,20\,x + 0,60\,y = 90,
2\times(0,10\,x + 0,30\,y = 20)\;\Longrightarrow\;0,20\,x + 0,60\,y = 40.
Subtraindo a segunda da primeira, temos
(1,20 - 0,20)\,x = 90 - 40 \quad\Longrightarrow\quad 1,00\,x = 50 \quad\Longrightarrow\quad x = 50.

Passo 5

Com x=50,g, vamos achar y usando uma das equações originais, por exemplo a de carboidrato:
0,10\cdot 50 + 0,30\,y = 20 \quad\Longrightarrow\quad 5 + 0,30\,y = 20 \quad\Longrightarrow\quad 0,30\,y = 15 \quad\Longrightarrow\quad y = 50.

Resposta

x = 50,g de A e y = 50,g de B.

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