Resolva os seguintes sistemas lineares:
\left\{\begin{array}{l} x-3 y+2 z=0 \\\\ 2 x+y-z=5 \\\\ -x+2 y+z=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear com três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x - 3y + 2z = 0,\\\\ 2x + y - z = 5,\\\\ -\,x + 2y + z = 3. \end{cases}
Vamos usar o método de substituição, isolando uma variável e substituindo nas demais.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
x = 3y - 2z.
Substituímos esse valor de x nas segunda e terceira equações, reduzindo o sistema a duas equações em y e z.

Passo 3

Substituindo em 2x + y - z = 5 e em -x + 2y + z = 3 obtemos:
2\,(3y-2z) + y - z = 5,
-\, (3y-2z) + 2y + z = 3.
Simplificando cada uma:
7y - 5z = 5,
-\,y + 3z = 3.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} 7y - 5z = 5,\\\\ -\,y + 3z = 3. \end{cases}
Da segunda equação vem
y = 3z - 3.
Substituindo em 7y - 5z = 5:
7\,(3z-3) - 5z = 5 \quad\Longrightarrow\quad 21z - 21 - 5z = 5 \quad\Longrightarrow\quad 16z = 26 \quad\Longrightarrow\quad z = \tfrac{13}{8}.
Logo,
y = 3\cdot \tfrac{13}{8} - 3 = \tfrac{39}{8} - \tfrac{24}{8} = \tfrac{15}{8}.

Passo 5

Por fim, voltamos à expressão de x:
x = 3y - 2z = 3\cdot \tfrac{15}{8} - 2\cdot \tfrac{13}{8} = \tfrac{45}{8} - \tfrac{26}{8} = \tfrac{19}{8}.

Resposta

\displaystyle x = \tfrac{19}{8},\quad y = \tfrac{15}{8},\quad z = \tfrac{13}{8}.

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