Seja
definida por
. Determine
de modo que a função seja crescente para todo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para escolher
de modo que
seja crescente em todo
.
Conteúdo: teste de monotonicidade via derivada. Precisamos usar que, se é diferenciável, então
é crescente se e somente se
Conteúdo: teste de monotonicidade via derivada. Precisamos usar que, se
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Como
usando as regras de derivação temos
Passo 3
Queremos
para todo
. Isso significa que a parábola de coeficiente líder positivo não deve ter raízes reais (ou toque apenas num ponto), pois assim fica sempre não-negativa.
Passo 4
O discriminante dessa quadrática é
Para não haver raízes reais devemos ter
, ou seja
Resposta
Assim, para qualquer