Seja f definida por f(x)=x^33+m x^2+x+12. Determine m de modo que a função seja crescente para todo x in R.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^33+m x^2+x+12
e pede para escolher m de modo que f seja crescente em todo R.
Conteúdo: teste de monotonicidade via derivada. Precisamos usar que, se f é diferenciável, então f é crescente se e somente se
f'(x)>=0forall xinR

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
f(x)=x^33+m x^2+x+12,
usando as regras de derivação temos
f'(x)=ddxgl(x^33gr)+ddx(m x^2)+ddx(x)+ddx(12) =;x^2+2m x+1

Passo 3

Queremos
f'(x)=x^2+2m x+1>=0
para todo x. Isso significa que a parábola de coeficiente líder positivo não deve ter raízes reais (ou toque apenas num ponto), pois assim fica sempre não-negativa.

Passo 4

O discriminante dessa quadrática é
De<a=(2m)^2-4cdot1cdot1=4m^2-4
Para não haver raízes reais devemos ter De<a<=0, ou seja
4m^2-4<=0 Longrightarrow m^2-1<=0 Longrightarrow -1<= m<=1

Resposta

min[-1,1]
Assim, para qualquer m entre -1 e 1, inclusive, a derivada satisfaz f'(x)>=0 em todo R e f é crescente.

Exercícios relacionados