Uma fábrica tem um custo fixo de R \ 500,00 e um custo variável deáR $20,00$ por unidade produzida.
(a) Escreva a função afim que representa o custo total C(x).
(b) Qual será o custo ao produzir 50 unidades?
(c) Quantas unidades precisam ser produzidas para que o custo total seja R \ 1.000,00$ ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Custo fixo: R\$ 500,00.
  • Custo variável por unidade: R\$ 20,00 por unidade produzida.
O enunciado pede três coisas:
(a) escrever a função afim que representa o custo total C(x);
(b) determinar o custo ao produzir 50 unidades;
(c) descobrir quantas unidades precisam ser produzidas para que o custo total seja R\$ 1.000,00.

Passo 2

O que é uma função afim neste contexto e qual a sua forma geral?
Uma função afim (função linear com termo constante) tem a forma
C(x)=ax+b,
onde:
  • x é a quantidade de unidades produzidas;
  • a é o coeficiente angular (aumenta do custo por cada unidade adicional) — aqui representa o custo variável por unidade;
  • b é o coeficiente linear (intercepto) — aqui representa o custo fixo, o custo quando x=0.
Isso significa que para cada unidade extra produzida o custo total aumenta em a, e mesmo sem produzir nada há um custo fixo b.

Passo 3

Identificar a e b com os dados do problema.
Pelo enunciado:
  • custo variável por unidade =R\$ 20{,}00, logo a=20;
  • custo fixo =R\$ 500{,}00, logo b=500.
Substituindo na forma geral obtemos a função custo:
C(x)=20x+500.
Interpretação rápida: se produzir x unidades, o custo total em reais é 20x+500. Normalmente toma-se x\ge 0 e, na prática, x inteiro.

Passo 4

Calcular o custo ao produzir 50 unidades.
Substituir x=50 na função:
C(50)=20\cdot 50 + 500.
Calcule passo a passo:
20\cdot 50 = 1000,
1000 + 500 = 1500.
Portanto o custo ao produzir 50 unidades é R\$ 1.500,00.

Passo 5

Determinar quantas unidades produzem custo total R\$ 1.000{,}00.
Montar a equação usando a função custo:
20x + 500 = 1000.
Isolar x: primeiro subtrai 500 dos dois lados,
20x = 1000 - 500 = 500.
Agora divide por 20,
x = \frac{500}{20} = 25.
Interpretação: produzindo 25 unidades obtém-se custo total de R\$ 1.000{,}00.

Passo 6

Verificação rápida (cheque mental):
C(25)=20\cdot 25 + 500 = 500 + 500 = 1000,
confere com a meta. Boa — está tudo certo!

Resposta

(a) C(x)=20x+500
(b) C(50)=R\$ 1.500,00
(c) x=25 unidades

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