Uma fábrica utiliza dois métodos para a produção de lâmpadas: 70 % delas são produzidas pelo método A e o resto pelo método B. A duração em horas das lâmpadas tem distribuição exponencial com parâmetro 1 / 80 ou 1 / 100, conforme se utilize o método A ou o B. Em um grupo de 10 lâmpadas selecionadas ao acaso, qual a probabilidade de que 6 delas durem pelo menos 90 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre produção de lâmpadas usando dois métodos diferentes e queremos saber a probabilidade de que, em um grupo de 10 lâmpadas escolhidas aleatoriamente, 6 delas durem pelo menos 90 horas. Vemos aqui que vamos trabalhar com probabilidade binomial e distribuição exponencial. Precisamos calcular a probabilidade de sucesso (uma lâmpada durar pelo menos 90 horas) e depois aplicar na fórmula binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma lâmpada durar pelo menos 90 horas. Como 70% são produzidas pelo método A e 30% pelo método B, usamos a regra da probabilidade total:
P(Duração >= 90) = P(A) times P(Duração >= 90 | A) + P(B) times P(Duração >= 90 | B) çãçãçã

Passo 3

Sabemos que a duração das lâmpadas segue uma distribuição exponencial. A função de sobrevivência para a distribuição exponencial é:
P(X >= x) = e^-lambda x
Onde lambda é o parâmetro da distribuição. Para o método A, lambdaA = 180 e para o método B, lambdaB = 1100.

Passo 4

Calculando as probabilidades condicionais:
P(Duração >= 90 | A) = e^-180 times 90 = e^-1.125 approx 0.3247 çã
P(Duração >= 90 | B) = e^-1100 times 90 = e^-0.9 approx 0.4066 çã

Passo 5

Agora, aplicamos esses valores na regra da probabilidade total:
P(Duração >= 90) = 0.7 times 0.3247 + 0.3 times 0.4066 çã
P(Duração >= 90) approx 0.2273 + 0.12198 çã
P(Duração >= 90) approx 0.3493 çã
Então, a probabilidade de uma lâmpada durar pelo menos 90 horas é aproximadamente 34,93%.

Passo 6

Agora, queremos a probabilidade de exatamente 6 lâmpadas, dentre 10, durarem pelo menos 90 horas. Isso segue uma distribuição binomial, onde:
  • $ n = 10 $ (número de tentativas)
  • $ k = 6 $ (número de sucessos desejados)
  • $ p = 0.3493 $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa)
A fórmula da probabilidade binomial é:
n = 10

Passo 7

Calculando:
binom106 = 10!6! times 4! = 210
P(X = 6) = 210 times (0.3493)^6 times (1 - 0.3493)^4
Primeiro, calculamos $ (0.3493)^6 $:
(0.3493)^6
E $ (0.6507)^4 $:
(0.3493)^6 approx 0.3493^6 approx 0.001535
Multiplicando tudo:
(0.6507)^4
(0.6507)^4 approx 0.6507^4 approx 0.1785
P(X = 6) = 210 times 0.001535 times 0.1785

Resposta

A probabilidade de que exatamente 6 das 10 lâmpadas durem pelo menos 90 horas é de aproximadamente 5,74%.

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