Uma fábrica utiliza dois métodos para a produção de lâmpadas:
delas são produzidas pelo método A e o resto pelo método B. A duração em horas das lâmpadas tem distribuição exponencial com parâmetro
ou
, conforme se utilize o método A ou o B. Em um grupo de 10 lâmpadas selecionadas ao acaso, qual a probabilidade de que 6 delas durem pelo menos 90 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre produção de lâmpadas usando dois métodos diferentes e queremos saber a probabilidade de que, em um grupo de 10 lâmpadas escolhidas aleatoriamente, 6 delas durem pelo menos 90 horas. Vemos aqui que vamos trabalhar com probabilidade binomial e distribuição exponencial. Precisamos calcular a probabilidade de sucesso (uma lâmpada durar pelo menos 90 horas) e depois aplicar na fórmula binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de uma lâmpada durar pelo menos 90 horas. Como 70% são produzidas pelo método A e 30% pelo método B, usamos a regra da probabilidade total:
Passo 3
Sabemos que a duração das lâmpadas segue uma distribuição exponencial. A função de sobrevivência para a distribuição exponencial é:
Onde
é o parâmetro da distribuição. Para o método A,
e para o método B,
.
Passo 4
Calculando as probabilidades condicionais:
Passo 5
Agora, aplicamos esses valores na regra da probabilidade total:
Então, a probabilidade de uma lâmpada durar pelo menos 90 horas é aproximadamente 34,93%.
Passo 6
Agora, queremos a probabilidade de exatamente 6 lâmpadas, dentre 10, durarem pelo menos 90 horas. Isso segue uma distribuição binomial, onde:
- $ n = 10 $ (número de tentativas)
- $ k = 6 $ (número de sucessos desejados)
- $ p = 0.3493 $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa)
A fórmula da probabilidade binomial é:
Passo 7
Calculando:
Primeiro, calculamos $ (0.3493)^6 $:
E $ (0.6507)^4 $:
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de que exatamente 6 das 10 lâmpadas durem pelo menos 90 horas é de aproximadamente 5,74%.