Sabe-se que numa corrida de revezamento de
com 10 atletas (cada um correndo
) o tempo que cada atleta demora para completar o percurso tem distribuição aproximadamente normal de média 40 [Minutos] e desvio padrão de 9 [Minutos]. Se 10 atletas são escolhidos ao acaso para uma prova, qual a probabilidade ( 2,5 pontos):
Da equipe completar o percurso em menos de 6 horas? e;
Da equipe completar o percurso em menos de 6 horas? e;
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma corrida de revezamento de 60 km com 10 atletas, sendo que cada um corre 6 km. O tempo que cada atleta leva para completar sua parte é distribuído de forma normal, com média de 40 minutos e desvio padrão de 9 minutos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade da equipe toda terminar a corrida em menos de 6 horas (que são 360 minutos). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e somatório de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o tempo total da equipe é a soma dos tempos de cada um dos 10 atletas. Como cada tempo individual é normalmente distribuído, a soma também será uma distribuição normal. A média total será a soma das médias individuais e o desvio padrão total será a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padrões individuais.
Passo 3
Calculando a média total:
Então, a média do tempo total que a equipe leva para completar a corrida é de 400 minutos.
Passo 4
Calculando o desvio padrão total:
Primeiro, calculamos a variância total, que é a soma das variâncias individuais.
Primeiro, calculamos a variância total, que é a soma das variâncias individuais.
Agora, tiramos a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão total.
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de o tempo total ser menor que 360 minutos. Para isso, usamos a fórmula do escore Z:
Onde:
- $ X = 360 minutos $
- $ \mu = 400 minutos $
- $ \sigma \approx 28,46 minutos $
Então:
Passo 6
Com o valor de Z, consultamos uma tabela da distribuição normal ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. Um Z de -1,41 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 7,95%.
Resposta
A probabilidade da equipe completar o percurso em menos de 6 horas é de aproximadamente 7,95%.