Sabe-se que numa corrida de revezamento de 60[km] com 10 atletas (cada um correndo 6[km] ) o tempo que cada atleta demora para completar o percurso tem distribuição aproximadamente normal de média 40 [Minutos] e desvio padrão de 9 [Minutos]. Se 10 atletas são escolhidos ao acaso para uma prova, qual a probabilidade ( 2,5 pontos):
Da equipe completar o percurso em menos de 6 horas? e;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma corrida de revezamento de 60 km com 10 atletas, sendo que cada um corre 6 km. O tempo que cada atleta leva para completar sua parte é distribuído de forma normal, com média de 40 minutos e desvio padrão de 9 minutos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade da equipe toda terminar a corrida em menos de 6 horas (que são 360 minutos). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e somatório de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o tempo total da equipe é a soma dos tempos de cada um dos 10 atletas. Como cada tempo individual é normalmente distribuído, a soma também será uma distribuição normal. A média total será a soma das médias individuais e o desvio padrão total será a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padrões individuais.

Passo 3

Calculando a média total:
mutotal = 10 times 40 = 400 minutos
Então, a média do tempo total que a equipe leva para completar a corrida é de 400 minutos.

Passo 4

Calculando o desvio padrão total:
Primeiro, calculamos a variância total, que é a soma das variâncias individuais.
sigmatotal^2 = 10 times (9)^2 = 10 times 81 = 810
Agora, tiramos a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão total.
sigmatotal = raiz810 approx 28,46 minutos

Passo 5

Agora, queremos saber a probabilidade de o tempo total ser menor que 360 minutos. Para isso, usamos a fórmula do escore Z:
Z = X - musigma
Onde:
- $ X = 360 minutos $
- $ \mu = 400 minutos $
- $ \sigma \approx 28,46 minutos $
Então:
X = 360 minutos

Passo 6

Com o valor de Z, consultamos uma tabela da distribuição normal ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. Um Z de -1,41 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 7,95%.

Resposta

A probabilidade da equipe completar o percurso em menos de 6 horas é de aproximadamente 7,95%.

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