O setor de tornearia de uma fábrica dispõe de três tornos. A probabilidade de um torno necessitar de reparos em um dia de operação é de 5%. Estando em reparo, este torno tem probabilidade de
voltar a funcionar no dia seguinte. A operação diária com um torno gera um lucro de 200 [R$]. Estando em reparo, gera uma despesa de
ao dia. Responda as questőes a seguir ( 2,5 pontos):
Descreva o problema, modele o diagrama de transição de estados e encontre a matriz estocástica;
Descreva o problema, modele o diagrama de transição de estados e encontre a matriz estocástica;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um setor de tornearia com três tornos. A probabilidade de um torno precisar de reparo em um dia de operação é de 5%. Se estiver em reparo, há 25% de chance de ele voltar a funcionar no dia seguinte. Além disso, operar um torno gera um lucro diário de R$200, e quando está em reparo, gera uma despesa de R$250 por dia.
O conteúdo aqui envolve probabilidade e cadeias de Markov, onde vamos modelar as possíveis situações (ou estados) de um torno e as transições entre esses estados. Para resolver, precisamos entender como representar esses estados e calcular a matriz estocástica que descreve as probabilidades de transição entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os estados possíveis de um torno. Como estamos considerando se o torno está funcionando ou em reparo, temos dois estados:
- Estado 0 (E0): Torno está funcionando normalmente.
- Estado 1 (E1): Torno está em reparo.
Passo 3
Agora, vamos determinar as probabilidades de transição entre esses estados. Essas probabilidades representam a chance de um torno mudar de um estado para outro em um dia.
-
Probabilidade de E0 para E0 (P00): É a probabilidade de o torno continuar funcionando. Como a chance de precisar de reparo é de 5%, a probabilidade de continuar funcionando é de 95%, ou seja, $ P_{00} = 0,95 $.
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Probabilidade de E0 para E1 (P01): É a probabilidade de o torno precisar de reparo, que é de 5%, então $ P_{01} = 0,05 $.
-
Probabilidade de E1 para E0 (P10): É a chance de um torno em reparo voltar a funcionar no dia seguinte, que é de 25%, ou seja, $ P_{10} = 0,25 $.
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Probabilidade de E1 para E1 (P11): É a probabilidade de o torno continuar em reparo, que é de 75%, então $ P_{11} = 0,75 $.
Passo 4
Com essas probabilidades, podemos montar o diagrama de transição de estados. Imagine dois círculos representando os estados E0 e E1. As setas mostram as transições possíveis com suas respectivas probabilidades.
E0 (Funcionando) ----0,05----> E1 (Reparo)
^ |
| |
0,95 |0,25
| |
----------------------------
Passo 5
Agora, vamos construir a matriz estocástica. Essa matriz organiza as probabilidades de transição de todos os estados de forma sistemática. Cada linha representa o estado atual, e cada coluna representa o próximo estado.
A matriz estocástica $ P $ fica assim:
Resposta
A matriz estocástica que representa as transições de estados dos tornos é: