Um fabricante afirma que apenas 5 % de todos as balanças eletrônicas de precisão que produz tem duração inferior a 20 meses. Uma loja compra semanalmente um grande lote de balanças desse fabricante, mas sob a seguinte condição: ela aceita o lote se, em 10 balanças escolhidas ao acaso, no máximo uma balança tiver duração inferior a 20 meses; caso contrário o lote é rejeitado.
(a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade de um lote ser rejeitado?
(b) Suponha agora que o fabricante esteja mentindo, isto é, na verdade a proporção de balanças com duração inferior a 20 meses é de 10 %. Qual a probabilidade do lote ser aceito, segundo o critério acima? Resp: (a) 0.0861; (b) 0.736098.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: um fabricante garante que só 5% das balanças duram menos de 20 meses. A loja escolhe 10 balanças ao acaso e aceita o lote se, dessas 10, no máximo 1 durar menos de 20 meses; se tiver 2 ou mais “ruins”, rejeita o lote.
Conteúdo: distribuição binomial (probabilidades de “sucesso” em experimentos independentes).
O que vamos precisar: usar a fórmula da binomial para calcular as probabilidades de 0, 1, 2… balanças “ruins” e então somar ou complementar essas probabilidades conforme o critério de aceitação/rejeição.

Passo 2

Teoria da binomial: se P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k é o número de balanças com duração inferior a 20 meses em P(rejeitar) ;=; P(X>=2) ;=;1 - l[P(X=0)+P(X=1)r] testes, e a chance de cada balança ser “ruim” é , então
Aqui .
(a) Para saber a probabilidade de rejeitar o lote quando , precisamos de

Passo 3

Calculando (a):
  1. P(rejeitar) = 1 - l(0.95^10 + 10cdot0.05cdot0.95^9r) approx 0.0861

  2. Então

Passo 4

Calculando (b): agora o fabricante mente e a fração “ruim” é P(aceitar) = P(X<=1) = P(X=0)+P(X=1), . A loja aceita se houver no máximo 1 balança ruim, ou seja:
P(aceitar) approx 0.736098
com
e
.
Somando dá

Resposta

(a) 0.0861
(b) 0.736098

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