Um fabricante de doces afirma que a percentagem de sacos de pastilhas de chocolate mal cheios é, no máximo, igual a 3 %. Uma pesquisa aleatória acusa 4 sacos mal cheios em 50 . A amostra foi extraída de uma remessa de 400 sacos. Considerando uma significância de 0,05 , a evidência amostral refuta a alegação do fabricante (isto é, mais de 3 % mal cheios)?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: um fabricante afirma que, no máximo, 3% dos sacos de pastilhas vêm mal cheios. A gente sorteou 50 sacos (de um lote de 400) e achou 4 mal cheios. Queremos, ao nível de significância α=0,05, saber se esses 4/50 são “tantos” que a gente pode dizer que, de fato, a porcentagem verdadeira é maior que 3%.
Conteúdo: teste de hipóteses para proporção. Vamos precisar da distribuição binomial (e comentar a possibilidade de aproximação normal, mas ver que ela não vale aqui).

Passo 2

Definindo as hipóteses:
H₀: p = 0,03 (a proporção real é 3%)
H₁: p > 0,03 (queremos ver se é maior que 3%)
Como nosso interesse é “maior que”, é um teste unilateral à direita.

Passo 3

Calcular a proporção amostral:
hat p = nº de sacos mal cheiostamanho da amostra = 450 = 0,08 º

Passo 4

Em geral a gente pode aproximar a binomial por normal se
n p0 >= 5 e n(1-p0)>=5
Aqui . Então a normal não serve bem – temos poucos “sucessos” esperados. A solução é usar o teste exato binomial.

Passo 5

Sob H₀, X~Binomial(n=50, p=0,03). O p-valor é
Pr(X>=4) =1-Pr(X<=3) =1-sumk=0^3 binom50k(0,03)^k(0,97)^50-k
Calculemos termo a termo (aproximadamente):
P(0)= p-valor = 1 - 0,936 = 0,064 (aprox)
P(1)=
P(2)=
P(3)=
Somando P(X≤3)≃0,218+0,337+0,255+0,126=0,936.
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Passo 6

Comparamos p-valor≃0,064 a α=0,05. Como 0,064 > 0,05, NÃO rejeitamos H₀. Ou seja, não há evidência amostral forte o suficiente para concluir que a taxa real seja maior que 3%.

Resposta

Não, ao nível de significância de 5% não há evidência para refutar a alegação do fabricante de que, no máximo, 3% dos sacos vêm mal cheios.

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