Um fabricante de doces afirma que a percentagem de sacos de pastilhas de chocolate mal cheios é, no máximo, igual a
. Uma pesquisa aleatória acusa 4 sacos mal cheios em 50 . A amostra foi extraída de uma remessa de 400 sacos. Considerando uma significância de 0,05 , a evidência amostral refuta a alegação do fabricante (isto é, mais de
mal cheios)?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: um fabricante afirma que, no máximo, 3% dos sacos de pastilhas vêm mal cheios. A gente sorteou 50 sacos (de um lote de 400) e achou 4 mal cheios. Queremos, ao nível de significância α=0,05, saber se esses 4/50 são “tantos” que a gente pode dizer que, de fato, a porcentagem verdadeira é maior que 3%.
Conteúdo: teste de hipóteses para proporção. Vamos precisar da distribuição binomial (e comentar a possibilidade de aproximação normal, mas ver que ela não vale aqui).
Conteúdo: teste de hipóteses para proporção. Vamos precisar da distribuição binomial (e comentar a possibilidade de aproximação normal, mas ver que ela não vale aqui).
Passo 2
Definindo as hipóteses:
H₀: p = 0,03 (a proporção real é 3%)
H₁: p > 0,03 (queremos ver se é maior que 3%)
Como nosso interesse é “maior que”, é um teste unilateral à direita.
H₀: p = 0,03 (a proporção real é 3%)
H₁: p > 0,03 (queremos ver se é maior que 3%)
Como nosso interesse é “maior que”, é um teste unilateral à direita.
Passo 3
Calcular a proporção amostral:
Passo 4
Em geral a gente pode aproximar a binomial por normal se
Aqui
. Então a normal não serve bem – temos poucos “sucessos” esperados. A solução é usar o teste exato binomial.
Passo 5
Sob H₀, X~Binomial(n=50, p=0,03). O p-valor é
Calculemos termo a termo (aproximadamente):
P(0)=
P(1)=
P(2)=
P(3)=
Somando P(X≤3)≃0,218+0,337+0,255+0,126=0,936.
Logo
P(0)=
P(1)=
P(2)=
P(3)=
Somando P(X≤3)≃0,218+0,337+0,255+0,126=0,936.
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Passo 6
Comparamos p-valor≃0,064 a α=0,05. Como 0,064 > 0,05, NÃO rejeitamos H₀. Ou seja, não há evidência amostral forte o suficiente para concluir que a taxa real seja maior que 3%.
Resposta
Não, ao nível de significância de 5% não há evidência para refutar a alegação do fabricante de que, no máximo, 3% dos sacos vêm mal cheios.