O fabricante gostaria de submeter seus resistores para teste de qualidade em um órgão de certificação oficial. Qual o número mínimo de resistores deve ser selecionado para que a estimativa represente a taxa de aprovação dos resistores da fábrica com margem de erro de no máximo 5%, considerando uma confiança de 90%?
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre qualidade de resistores que uma fábrica produz e quer saber quantos resistores precisamos testar para ter certeza sobre a taxa de aprovação deles. Ou seja, queremos uma estimativa que não erre mais que 5% e que a gente tenha 90% de confiança nessa estimativa. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre estimação de proporções e margem de erro.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para calcular o número mínimo de resistores a serem selecionados (n), usamos a fórmula da tamanho da amostra para proporções. A fórmula é:
Onde:
- $ Z $ é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ p $ é a proporção estimada de aprovação.
- $ E $ é a margem de erro.
Passo 3
Vamos identificar cada parte da fórmula com os dados que temos:
- Nível de confiança de 90%: Precisamos achar o valor de $ Z $ que corresponde a 90% de confiança. Isso geralmente é 1,645.
- Margem de erro de 5%: Aqui, $ E = 0,05 $.
- Proporção $ p $: Se não sabemos a proporção exata de aprovação, usamos 0,5 para maximizar o tamanho da amostra, já que $ p \times (1 - p) $ atinge seu valor máximo quando $ p = 0,5 $.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular passo a passo.
Passo 5
Primeiro, calculamos $ Z^2 $:
Passo 6
Agora, calculamos $ p \times (1 - p) $:
Passo 7
Em seguida, calculamos $ E^2 $:
Passo 8
Agora, substituímos os valores calculados na fórmula:
Passo 9
Como não podemos ter uma fração de resistor, arredondamos para cima:
Resposta
O número mínimo de resistores que deve ser selecionado é 271.