(1,0) O fabricante gostaria de submeter seus resistores para teste de qualidade em um órgão de certificação oficial. Qual o número mínimo de resistores deve ser selecionado para que a estimativa represente a taxa de aprovação dos resistores da fábrica com margem de erro de no máximo 5%, considerando uma confiança de 90%?
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre qualidade de resistores que uma fábrica produz e quer saber quantos resistores precisamos testar para ter certeza sobre a taxa de aprovação deles. Ou seja, queremos uma estimativa que não erre mais que 5% e que a gente tenha 90% de confiança nessa estimativa. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre estimação de proporções e margem de erro.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para calcular o número mínimo de resistores a serem selecionados (n), usamos a fórmula da tamanho da amostra para proporções. A fórmula é:
n = ( Z^2 times p times (1 - p)E^2 )
Onde:
  • $ Z $ é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção estimada de aprovação.
  • $ E $ é a margem de erro.

Passo 3

Vamos identificar cada parte da fórmula com os dados que temos:
  • Nível de confiança de 90%: Precisamos achar o valor de $ Z $ que corresponde a 90% de confiança. Isso geralmente é 1,645.
  • Margem de erro de 5%: Aqui, $ E = 0,05 $.
  • Proporção $ p $: Se não sabemos a proporção exata de aprovação, usamos 0,5 para maximizar o tamanho da amostra, já que $ p \times (1 - p) $ atinge seu valor máximo quando $ p = 0,5 $.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
n = ( 1,645^2 times 0,5 times (1 - 0,5)0,05^2 )
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculamos $ Z^2 $:
Z^2

Passo 6

Agora, calculamos $ p \times (1 - p) $:
p times (1 - p)

Passo 7

Em seguida, calculamos $ E^2 $:
E^2

Passo 8

Agora, substituímos os valores calculados na fórmula:
n = ( 2,706 times 0,250,0025 )
n = ( 0,67650,0025 )
n approx 270,6

Passo 9

Como não podemos ter uma fração de resistor, arredondamos para cima:
n = 271

Resposta

O número mínimo de resistores que deve ser selecionado é 271.

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