Resolva os seguintes exercícios:
Jogamos um dado de seis lados 12 vezes. Qual a probabilidade de se obter a face 5 ao menos 2 vezes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um dado de seis lados e vamos jogá-lo 12 vezes. A pergunta é: qual a chance de sair o número 5 pelo menos 2 vezes nessas 12 jogadas? Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é ótima para situações com um número fixo de tentativas, cada uma com dois possíveis resultados (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos 2 vezes”. Isso quer dizer que queremos saber a probabilidade de sair o 5 duas vezes, ou três vezes, ou até mais, até 12 vezes. Mas calcular cada uma dessas possibilidades individualmente seria trabalhoso, então vamos usar uma estratégia mais simples.

Passo 3

A probabilidade de obter “pelo menos 2” vezes o número 5 é igual a 1 menos a probabilidade de obter “menos de 2” vezes, ou seja, 0 ou 1 vez. Então, nossa fórmula fica assim:
P(X >= 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X = 0) $, que é a probabilidade de sair 5 nenhuma vez nas 12 jogadas. A probabilidade de não sair 5 em uma jogada é $ \frac{5}{6} $. Então:
P(X = 0)

Passo 5

Em seguida, vamos calcular $ P(X = 1) $, que é a probabilidade de sair 5 exatamente uma vez nas 12 jogadas. Usamos a fórmula binomial para isso:
P(X = 1)
Onde $ C(12, 1) $ é o número de combinações de 12 itens tomados 1 a 1, que é 12.

Passo 6

Vamos agora calcular os valores:
P(X = 0) = ( 56 )^12 approx 0,1122
P(X = 1) = 12 times ( 16 ) times ( 56 )^11 approx 12 times 0,1667 times 0,1937 approx 0,3874

Passo 7

Somando $ P(X = 0) $ e $ P(X = 1) $:
P(X = 0)

Passo 8

Agora, usamos a fórmula do Passo 3 para encontrar $ P(X \geq 2) $:
P(X >= 2)

Resposta

A probabilidade de obter a face 5 pelo menos 2 vezes em 12 jogadas é aproximadamente 50,04%.

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